Descrever as superfícies de nível do campo escalar
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descrever as superfícies de nível do campo escalar
. Isso está dentro de geometria analítica e cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como manipular funções envolvendo o arco cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É o conjunto de pontos
onde a função
tem um valor constante, digamos
. Então, temos:
Passo 3
Agora, pra simplificar isso, vamos isolar o termo dentro do arco cosseno. Lembre-se que
implica que
. Então:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Essa é a equação de uma superfície paraboloide, pois temos
igual a uma soma quadrática de
e
, mais uma constante.
Passo 5
A constante
desloca a paraboloide para cima ou para baixo dependendo do valor de
. Como
varia entre -1 e 1, isso significa que a posição da paraboloide varia conforme o valor de
que definimos para a superfície de nível.
Resposta
As superfícies de nível do campo escalar
são paraboloides da forma:
onde
é a constante que define cada superfície específica.
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Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
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Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries: