Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge usando o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite. Basicamente, vamos comparar essa série com outra que já sabemos se ela converge ou não. Para isso, precisamos lembrar de alguns conceitos sobre séries e quais séries conhecemos que podem servir de comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Critério da Comparação. Esse critério nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. Se cada termo da série que queremos estudar for menor ou igual aos termos de uma série conhecida que converge, então a nossa série também converge. Se for maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa também diverge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série
. O termo geral dessa série é
. Precisamos encontrar uma série conhecida para comparar. Uma série que já conhecemos bem é a série harmônica, que é
. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 4
Vamos comparar os termos das duas séries. Notamos que para todo
,
, já que o logaritmo natural de um número maior que 1 é positivo e crescente. Portanto, temos:
Passo 5
Como
e sabemos que a série
diverge, pelo Critério da Comparação, a nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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:
Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo:
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries: