Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n^2n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério da Razão para ver se a série sumn=1^infty n^2n! converge ou não. O Critério da Razão ajuda a determinar a convergência de séries analisando o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = n^2n!. Para aplicar o Critério da Razão, a gente precisa calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja, an+1an.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2n^2 times n!(n+1)!
Simplificando a fração fatorial:
n!(n+1)! = 1n+1
Então, a razão fica:
an+1an = (n+1)^2n^2 times 1n+1 = n+1n^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
limn to infty n+1n^2 = limn to infty 1 + 1nn = 0

Passo 5

De acordo com o Critério da Razão, se esse limite L for menor que 1, a série converge absolutamente. Como aqui L = 0 < 1, podemos concluir que a série sumn=1^infty n^2n! converge.

Resposta

A série converge.

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Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty ln nn
Descrever as superfícies de nível do campo escalar phi: phi(x, y, z) = arccos(x^2 + y^2 - z)
Use o Critério da Comparação ou o Critério da Comparação pelo Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1raiz[n]n!
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty n!2^n