Descriçāo do elemento neutro aditivo Nos Exercícios 1-6, descreva o vetor nulo (o elemento neutro da soma) do espaço vetorial.
P3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descrevermos o vetor nulo, que é o elemento neutro da soma, no espaço vetorial . Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e operações dentro deles. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que é o elemento neutro aditivo e identificar qual vetor serve como neutro em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 . Esse espaço vetorial é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio que possa ser escrito na forma:
onde são coeficientes reais.

Passo 3

Agora, o que é um elemento neutro aditivo? Em qualquer espaço vetorial, o elemento neutro aditivo é aquele que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, não altera esse vetor. É como o zero na soma comum dos números: .

Passo 4

No contexto de P(x) + N(x) = P(x) , precisamos encontrar um polinômio que, quando somado a qualquer outro polinômio de , não muda esse polinômio. Ou seja, queremos:
para todo .

Passo 5

O único polinômio que satisfaz essa condição é o polinômio zero, que é simplesmente:
N(x) = 0
Isso porque, somando zero a qualquer polinômio, não alteramos seus termos:
(a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3) + 0 = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3

Resposta

O vetor nulo em é o polinômio zero, .

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