Descriçāo do elemento neutro aditivo Nos Exercícios 1-6, descreva o vetor nulo (o elemento neutro da soma) do espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descrevermos o vetor nulo, que é o elemento neutro da soma, no espaço vetorial
. Isso está relacionado ao estudo de espaços vetoriais e operações dentro deles. Para resolver, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que é o elemento neutro aditivo e identificar qual vetor serve como neutro em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse espaço vetorial é formado por todos os polinômios de grau no máximo 3. Ou seja, qualquer polinômio que possa ser escrito na forma:
onde
são coeficientes reais.
Passo 3
Agora, o que é um elemento neutro aditivo? Em qualquer espaço vetorial, o elemento neutro aditivo é aquele que, quando somado a qualquer outro vetor do espaço, não altera esse vetor. É como o zero na soma comum dos números:
.
Passo 4
No contexto de
, precisamos encontrar um polinômio que, quando somado a qualquer outro polinômio de
, não muda esse polinômio. Ou seja, queremos:
para todo
.
Passo 5
O único polinômio que satisfaz essa condição é o polinômio zero, que é simplesmente:
Isso porque, somando zero a qualquer polinômio, não alteramos seus termos:
Resposta
O vetor nulo em
é o polinômio zero,
.
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