Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que a gente tem aí. O que precisamos aqui é usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, pra encontrar as soluções das equações. Vamos precisar montar a matriz do sistema, calcular os autovalores, encontrar os autovetores correspondentes e, por fim, escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Temos:
[
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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