Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. & y1^prime=y1-2 y2 & y2^prime=-2 y1+4 y2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que a gente tem aí. O que precisamos aqui é usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, pra encontrar as soluções das equações. Vamos precisar montar a matriz do sistema, calcular os autovalores, encontrar os autovetores correspondentes e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Temos:

[
y1' y2' = 1 & -2 -2 & 4 y1 y2

A = 1 & -2 -2 & 4

]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
det( 1 - lambda & -2 -2 & 4 - lambda ) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (-2)(-2) = lambda^2 - 5lambda = 0
Resolvendo a equação:
lambda(lambda - 5) = 0 implies lambda = 0 ou lambda = 5

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para 1 & -2 -2 & 4 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos 2 1 :

[
-4 & -2 -2 & -1 v1 v2 = 0 0
1 -2


]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Para :
Resolvemos :

[


]
Da primeira equação:
Então, um autovetor é

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear dos autovetores multiplicados pelas exponenciais dos autovalores:
y1(t) y2(t) = C1 e^0t 2 1 + C2 e^5t 1 -2
Simplificando y1(t) y2(t) = C1 2 1 + C2 e^5t 1 -2 :

Resposta

A solução geral do sistema é:
y1(t) = 2C1 + C2 e^5t
y2(t) = C1 - 2C2 e^5t
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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