Descrição do elemento oposto aditivo Nos Exercícios 7-12, descreva o elemento oposto de um vetor no espaço vetorial.
R^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Nos exercícios 7 a 12, precisamos descrever o elemento oposto aditivo de um vetor no espaço vetorial R^3. Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais na matemática, especificamente lidando com operadores binários como a adição de vetores e seus elementos opostos.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é um elemento oposto aditivo. Em um espaço vetorial, o elemento oposto de um vetor v é outro vetor que, quando somado a v, resulta no vetor zero (o vetor nulo). Esse conceito é fundamental para entender estruturas como grupos e espaços vetoriais.

Passo 3

No espaço vetorial R^3, que consiste em vetores com três componentes, um vetor é geralmente representado como v = (x, y, z), onde x, y e z são números reais que representam suas componentes nas três dimensões.

Passo 4

Para encontrar o elemento oposto aditivo de um vetor v = (x, y, z) em R^3, precisamos encontrar um vetor w = (a, b, c) tal que:
v + w = 0
Onde 0 = (0, 0, 0) é o vetor nulo em R^3.

Passo 5

Resolvendo a equação:
(x, y, z) + (a, b, c) &= (0, 0, 0) (x + a, y + b, z + c) &= (0, 0, 0)
Isso nos dá que:
x + a = 0 y + b = 0 z + c = 0
Portanto, as componentes do vetor w devem ser a = -x, b = -y e c = -z.

Resposta

O elemento oposto aditivo de um vetor v = (x, y, z) em R^3 é w = (-x, -y, -z).

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