(4 pontos) Considere a reta
e o plano
.
a) Determine a posiçăo relativa entre
e
. escalor
b) Obtenha a interseçâo entre
e
.
a) Determine a posiçăo relativa entre
b) Obtenha a interseçâo entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma reta
dada por
e um plano
definido pela equação
. Nosso objetivo é:
a) Descobrir como a reta
se relaciona com o plano
e encontrar os vetores
(normal do plano) e
(direção da reta).
b) Encontrar o ponto onde a reta
intersecta o plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que precisamos. A reta
está na forma simétrica, o que facilita encontrar o vetor direção.
Na forma
, o vetor direção é
.
Aqui,
,
, e
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal
do plano
.
A equação geral do plano é
, onde o vetor normal é
.
No nosso caso,
,
, e
. Então:
Passo 4
Para determinar a posição relativa entre a reta
e o plano
, precisamos verificar se a reta é paralela ao plano ou se ela intersecta o plano.
Uma reta é paralela ao plano se o vetor direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre
e
deve ser zero.
Vamos calcular o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, a reta
é paralela ao plano
.
Passo 5
Como a reta
é paralela ao plano
, temos duas possibilidades:
- A reta está contida no plano.
- A reta não está contida no plano e não intersecciona o plano.
Vamos verificar qual das duas opções é verdadeira.
Passo 6
Para verificar se a reta está no plano, pegamos um ponto da reta e substituímos na equação do plano.
O ponto na reta
é
.
Substituindo na equação do plano
:
Como a equação não é satisfeita, a reta não está no plano.
Passo 7
Então, concluímos que a reta
é paralela ao plano
e não está contida no plano. Portanto, elas não têm pontos em comum.
Passo 8
Já que a reta é paralela ao plano e não o intersecta, não há ponto de interseção entre eles.
Resposta
a) A reta
é paralela ao plano
. Os vetores são
e
.
b) Não existe ponto de interseção entre a reta
e o plano
.