(4 pontos) Considere a reta e o plano .
a) Determine a posiçăo relativa entre e . escalor
b) Obtenha a interseçâo entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma reta dada por e um plano definido pela equação . Nosso objetivo é:
a) Descobrir como a reta se relaciona com o plano e encontrar os vetores (normal do plano) e (direção da reta).
b) Encontrar o ponto onde a reta intersecta o plano .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que precisamos. A reta está na forma simétrica, o que facilita encontrar o vetor direção.
Na forma , o vetor direção é .
Aqui, , , e , então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano .
A equação geral do plano é , onde o vetor normal é .
No nosso caso, , , e . Então:
Passo 4
Para determinar a posição relativa entre a reta e o plano , precisamos verificar se a reta é paralela ao plano ou se ela intersecta o plano.
Uma reta é paralela ao plano se o vetor direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero.
Vamos calcular o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano .
Passo 5
Como a reta é paralela ao plano , temos duas possibilidades:
A reta está contida no plano.
A reta não está contida no plano e não intersecciona o plano.
Vamos verificar qual das duas opções é verdadeira.
Passo 6
Para verificar se a reta está no plano, pegamos um ponto da reta e substituímos na equação do plano.
O ponto na reta é .
Substituindo na equação do plano :
Como a equação não é satisfeita, a reta não está no plano.
Passo 7
Então, concluímos que a reta é paralela ao plano e não está contida no plano. Portanto, elas não têm pontos em comum.
Passo 8
Já que a reta é paralela ao plano e não o intersecta, não há ponto de interseção entre eles.
Resposta
a) A reta é paralela ao plano . Os vetores são e .
b) Não existe ponto de interseção entre a reta e o plano .