(4 pontos) Considere a reta r: x-33=y-32=x-118 e o plano pi: 2 x+y-z-6=0.
a) Determine a posiçăo relativa entre r e pi. escalor n, v
b) Obtenha a interseçâo entre r e pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma reta dada por e um plano definido pela equação . Nosso objetivo é:
a) Descobrir como a reta se relaciona com o plano e encontrar os vetores (normal do plano) e (direção da reta).
b) Encontrar o ponto onde a reta intersecta o plano .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que precisamos. A reta v = lang<= 3, 2, 8 rang<= está na forma simétrica, o que facilita encontrar o vetor direção.
Na forma , o vetor direção é .
Aqui, , , e , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal n = lang<= 2, 1, -1 rang<= do plano .
A equação geral do plano é , onde o vetor normal é .
No nosso caso, , , e . Então:

Passo 4

Para determinar a posição relativa entre a reta v cdot n = (3)(2) + (2)(1) + (8)(-1) = 6 + 2 - 8 = 0 e o plano , precisamos verificar se a reta é paralela ao plano ou se ela intersecta o plano.
Uma reta é paralela ao plano se o vetor direção da reta for perpendicular ao vetor normal do plano. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser zero.
Vamos calcular o produto escalar:
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano .

Passo 5

Como a reta é paralela ao plano , temos duas possibilidades:
  1. A reta está contida no plano.
  2. A reta não está contida no plano e não intersecciona o plano.
Vamos verificar qual das duas opções é verdadeira.

Passo 6

Para verificar se a reta está no plano, pegamos um ponto da reta e substituímos na equação do plano.
O ponto na reta 2(3) + 3 - 11 - 6 = 6 + 3 - 11 - 6 = -8 neq 0 é .
Substituindo na equação do plano :
Como a equação não é satisfeita, a reta não está no plano.

Passo 7

Então, concluímos que a reta é paralela ao plano e não está contida no plano. Portanto, elas não têm pontos em comum.

Passo 8

Já que a reta é paralela ao plano e não o intersecta, não há ponto de interseção entre eles.

Resposta

a) A reta é paralela ao plano . Os vetores são e .
b) Não existe ponto de interseção entre a reta e o plano .

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