(4 pontos) Determinar o ângulo entre os planos: wis theta
pi1: passa por A(3,5,1) e B(6,8,2) e é para<=lo u=(1,1,2) ; é
pi2:(x, y, z)=(3,0,0)+t(1,1,0)+h(0,1,4), com t, h in R
X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois planos no espaço. Pra isso, vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre planos. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e depois calcular o ângulo entre esses vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o plano pi1. Ele passa pelos pontos A(3,5,1) e B(6,8,2) e é paralelo ao vetor u = (1,1,2). Para achar o vetor normal desse plano, precisamos de dois vetores que estão no plano.
Vamos encontrar um vetor que vai de A até B:
AB = B - A = (6-3, 8-5, 2-1) = (3,3,1)
Agora, já temos dois vetores no plano pi1: AB = (3,3,1) e u = (1,1,2). O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial:
n1 = AB times u = i & j & k 3 & 3 & 1 1 & 1 & 2 = i(3 cdot 2 - 1 cdot 1) - j(3 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(3 cdot 1 - 3 cdot 1)
n1 = i(6 - 1) - j(6 - 1) + k(3 - 3) = (5, -5, 0)

Passo 3

Agora, vamos para o plano pi2. Ele está dado de forma paramétrica:
(x, y, z) = (3,0,0) + t(1,1,0) + h(0,1,4)
Os vetores diretores são v = (1,1,0) e w = (0,1,4). Para achar o vetor normal, fazemos o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial:
n2 = v times w = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 4 = i(1 cdot 4 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 4 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0)
n2 = i(4) - j(4) + k(1) = (4, -4, 1)

Passo 4

Agora que temos os vetores normais dos dois planos:
n1 = (5, -5, 0) e n2 = (4, -4, 1)
Vamos calcular o ângulo theta entre eles usando a fórmula do produto escalar:
n1 cdot n2 = |n1||n2| cos theta
Primeiro, calculamos o produto escalar:
n1 cdot n2 = (5)(4) + (-5)(-4) + (0)(1) = 20 + 20 + 0 = 40
Agora, calculamos os módulos dos vetores:
|n1| = raiz5^2 + (-5)^2 + 0^2 = raiz25 + 25 = raiz50 = 5raiz2
|n2| = raiz4^2 + (-4)^2 + 1^2 = raiz16 + 16 + 1 = raiz33
Agora, aplicamos na fórmula:
40 = (5raiz2)(raiz33) cos theta
cos theta = 405raiz2 cdot raiz33 = 405raiz66 = 8raiz66 = 8raiz6666 = 4raiz6633
Finalmente, para achar o ângulo:
theta = arccos(4raiz6633) approx 20,56^circ

Resposta

O ângulo entre os planos pi1 e pi2 é aproximadamente 20,56^circ.

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$$
T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z) T(x, y, z)=(2 x+3 y+6 z, 3 x+4 y+7 z, 2 x+3 y+5 z)çã
S(x, y, z)=(x+y+z, y+2 z, x+y+2 z)$$
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c 30^circ 45^circ 60^circ sen 1 / 2 raiz2 / 2 raiz3 / 2 cos raiz3 / 2 raiz22 / 2 / 2
l cos theta=u cdot v|u||v| cos theta=|vr cdot vs||vr||vs| cos theta=|n1 cdot n2||n1||n2| sen phi=|n cdot vr||n||vr| V=|(u, v, w)| d(P, r)=|vr times Ar P||vr| d(r, s)=|(vr, vs cdot Ar As)|| vr times vs | d(P0, pi)=|a x0+b y0+c z0+d|raiza^2+b^2+c^2 proj vu=(v cdot u|u|^2) u
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