(4 pontos) Determinar o ângulo entre os planos: wis
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois planos no espaço. Pra isso, vamos usar a matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre ângulos entre planos. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores normais de cada plano e depois calcular o ângulo entre esses vetores usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o plano . Ele passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor. Para achar o vetor normal desse plano, precisamos de dois vetores que estão no plano.
Vamos encontrar um vetor que vai de até :
Agora, já temos dois vetores no plano : e . O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial:
n1 = i(6 - 1) - j(6 - 1) + k(3 - 3) = (5, -5, 0)
Passo 3
Agora, vamos para o plano pi2. Ele está dado de forma paramétrica:
(x, y, z) = (3,0,0) + t(1,1,0) + h(0,1,4)
Os vetores diretores são v = (1,1,0) e w = (0,1,4). Para achar o vetor normal, fazemos o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando o produto vetorial:
n2 = v times w = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 4 = i(1 cdot 4 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 4 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0)
n2 = i(4) - j(4) + k(1) = (4, -4, 1)
Passo 4
Agora que temos os vetores normais dos dois planos:
n1 = (5, -5, 0) e n2 = (4, -4, 1)
Vamos calcular o ângulo theta entre eles usando a fórmula do produto escalar: