(4 pontos) Determine:
r:l x=1+2 t y=4 t z=-1+6 t e s:l y=2 x+1 z=3 x-2
a) a posiçâo relativa entre r: x+43=y4=x+5-2 e a reta que passa por A(21,-5,2) e B(15,-1,3).
b) a distảncia entre r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos duas situações envolvendo retas no espaço. No item a), temos que comparar a posição relativa entre a reta y = 2x + 1 z = 3x - 2 e a reta que passa pelos pontos e . No item b), precisamos encontrar a distância entre as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição relativa entre as duas retas no item a). As retas podem ser paralelas, coincidentes ou divergentes (cônicas). Para verificar isso, precisamos comparar os vetores diretores das retas e ver se são paralelos ou não.

Passo 3

Vamos determinar os vetores diretores. Para a reta dr = (3, 4, -2) , a forma simétrica nos dá o vetor diretor:
AB = B - A = (15 - 21, -1 - (-5), 3 - 2) = (-6, 4, 1)
Para a reta que passa pelos pontos dAB = (-6, 4, 1) e , calculamos o vetor :
Então, o vetor diretor da reta que passa por e é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Vamos comparar:
dr = (3, 4, -2) e dAB = (-6, 4, 1)
Claramente, não há um escalar que multiplique para obter . Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se interceptam. Para isso, vamos igualar as equações paramétricas das retas e resolver o sistema de equações para encontrar valores de parâmetros que satisfaçam as três coordenadas , e .

Passo 6

A equação da reta x = -4 + 3lambda y = 0 + 4lambda z = -5 - 2lambda em forma paramétrica é:
x = 21 - 6mu y = -5 + 4mu z = 2 + mu
A equação da reta que passa por -4 + 3lambda = 21 - 6mu 4lambda = -5 + 4mu -5 - 2lambda = 2 + mu e pode ser escrita parametricamente como:
Igualando as coordenadas:
Vamos resolver esse sistema para ver se há uma solução comum.

Passo 7

Resolvendo a segunda equação para 4lambda = -5 + 4mu implies mu = lambda + 54 :
-5 - 2lambda = 2 + (lambda + 54) implies -5 - 2lambda = 2 + lambda + 54
Substituindo na terceira equação:
-5 - 2lambda = 134 + lambda implies -204 - 2lambda = 134 + lambda implies -2lambda - lambda = 134 + 204 implies -3lambda = 334 implies lambda = -114
Resolvendo:
mu = -114 + 54 = -64 = -32
Agora, substituindo -4 + 3(-114) = 21 - 6(-32) implies -4 - 334 = 21 + 9 implies -494 = 30 na expressão de :
Agora, verificamos na primeira equação:
Claramente, a igualdade não é satisfeita. Portanto, as retas não se interceptam.

Resposta

As retas e a reta que passa por e são divergentes, ou seja, são retas cônicas que não são nem paralelas nem coincidentes.

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