a) a posiçâo relativa entre r: x+43=y4=x+5-2 e a reta que passa por A(21,-5,2) e B(15,-1,3).
b) a distảncia entre r e s.
द
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos duas situações envolvendo retas no espaço. No item a), temos que comparar a posição relativa entre a reta y = 2x + 1 z = 3x - 2 e a reta que passa pelos pontos e . No item b), precisamos encontrar a distância entre as retas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição relativa entre as duas retas no item a). As retas podem ser paralelas, coincidentes ou divergentes (cônicas). Para verificar isso, precisamos comparar os vetores diretores das retas e ver se são paralelos ou não.
Passo 3
Vamos determinar os vetores diretores. Para a reta dr = (3, 4, -2) , a forma simétrica nos dá o vetor diretor:
AB = B - A = (15 - 21, -1 - (-5), 3 - 2) = (-6, 4, 1)
Para a reta que passa pelos pontos dAB = (-6, 4, 1) e , calculamos o vetor :
Então, o vetor diretor da reta que passa por e é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores diretores são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro. Vamos comparar:
dr = (3, 4, -2) e dAB = (-6, 4, 1)
Claramente, não há um escalar que multiplique para obter . Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 5
Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se interceptam. Para isso, vamos igualar as equações paramétricas das retas e resolver o sistema de equações para encontrar valores de parâmetros que satisfaçam as três coordenadas , e .
Passo 6
A equação da reta x = -4 + 3lambda y = 0 + 4lambda z = -5 - 2lambda em forma paramétrica é:
x = 21 - 6mu y = -5 + 4mu z = 2 + mu
A equação da reta que passa por -4 + 3lambda = 21 - 6mu 4lambda = -5 + 4mu -5 - 2lambda = 2 + mu e pode ser escrita parametricamente como:
Igualando as coordenadas:
Vamos resolver esse sistema para ver se há uma solução comum.
Passo 7
Resolvendo a segunda equação para 4lambda = -5 + 4mu implies mu = lambda + 54 :