Descubra o que acontece com
, nos casos abaixo e justifique sua afirmação.
c)
c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir o que acontece com o limite de
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e a comparação dos graus das expressões no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dada. Vamos expandir o numerador:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador
:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de cada termo conforme
tende ao infinito:
-
tende a 0 porque o denominador cresce sem limite. -
tende a 0 ainda mais rapidamente. -
também tende a 0 mesmo mais rápido.
Passo 5
Somando os limites dos termos individuais:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 0.
Exercícios relacionados
Utilizando o exercício anterior prove que as sequências (
) abaixo são limitadas, onde
(a)
(a)
Sejam
, defina
por
, mostre que
.
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
2. .
2.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.