Descubra o que acontece com lim an, nos casos abaixo e justifique sua afirmação.
c) an=(2 n-1)(3 n+1)n^3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos descobrir o que acontece com o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites envolvendo funções polinomiais e a comparação dos graus das expressões no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dada. Vamos expandir o numerador:
(2n - 1)(3n + 1) = 2n cdot 3n + 2n cdot 1 - 1 cdot 3n - 1 cdot 1 = 6n^2 + 2n - 3n - 1 = 6n^2 - n - 1
Então, a expressão original fica:
an = 6n^2 - n - 1n^3

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador an = 6n^2n^3 - nn^3 - 1n^3 = 6n - 1n^2 - 1n^3 :

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de cada termo conforme tende ao infinito:
  • tende a 0 porque o denominador cresce sem limite.
  • tende a 0 ainda mais rapidamente.
  • também tende a 0 mesmo mais rápido.

Passo 5

Somando os limites dos termos individuais:
limn to infty an = limn to infty ( 6n - 1n^2 - 1n^3 ) = 0 - 0 - 0 = 0

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 0.

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