Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = 1 + x^2, c = 2.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar a Série de Taylor ou Maclaurin para a função em torno do ponto . Além disso, vamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como aplicá-las em funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma Série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de aproximar funções lisas (que têm derivadas de todas as ordens) usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da Série de Taylor de uma função em torno do ponto é:
Isso significa que a série é composta por termos que envolvem as derivadas de avaliadas em , multiplicadas por potências de e divididas pelos fatoriais correspondentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função em torno de . Primeiro, precisamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada e assim por diante:
Como é um polinômio de grau 2, todas as derivadas de ordem superior a 2 serão zero. Isso significa que a Série de Taylor vai ter apenas três termos: o termo constante, o termo linear e o termo quadrático.

Passo 4

Vamos calcular os valores das derivadas em :
  • Valor da função em :
  • Primeira derivada em :
  • Segunda derivada em :
Agora, podemos montar a Série de Taylor utilizando esses valores:

Passo 5

Simplificando a expressão da série:
Isso é exatamente a função original expandida em torno de . Como a função é um polinômio de segundo grau, a série de Taylor é igual à própria função, e não há termos de ordem superior.

Passo 6

Por último, vamos determinar para quais valores de essa série converge. Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função inteira, a sua série de Taylor converge para todos os valores de reais. Isso significa que não há restrições no intervalo de convergência.

Resposta

A Série de Taylor de em torno de é:
Essa série converge para todos os valores de reais.

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