Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício que pede para encontrar a Série de Taylor ou Maclaurin para a função
em torno do ponto
. Além disso, vamos descobrir para quais valores de
essa série converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como aplicá-las em funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma Série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de aproximar funções lisas (que têm derivadas de todas as ordens) usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico
. A fórmula geral da Série de Taylor de uma função
em torno do ponto
é:
Isso significa que a série é composta por termos que envolvem as derivadas de
avaliadas em
, multiplicadas por potências de
e divididas pelos fatoriais correspondentes.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
em torno de
. Primeiro, precisamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada e assim por diante:
Como
é um polinômio de grau 2, todas as derivadas de ordem superior a 2 serão zero. Isso significa que a Série de Taylor vai ter apenas três termos: o termo constante, o termo linear e o termo quadrático.
Passo 4
Vamos calcular os valores das derivadas em
:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada em
:
- Segunda derivada em
:
Agora, podemos montar a Série de Taylor utilizando esses valores:
Passo 5
Simplificando a expressão da série:
Isso é exatamente a função original
expandida em torno de
. Como a função é um polinômio de segundo grau, a série de Taylor é igual à própria função, e não há termos de ordem superior.
Passo 6
Por último, vamos determinar para quais valores de
essa série converge. Como estamos lidando com um polinômio, que é uma função inteira, a sua série de Taylor converge para todos os valores de
reais. Isso significa que não há restrições no intervalo de convergência.
Resposta
A Série de Taylor de
em torno de
é:
Essa série converge para todos os valores de
reais.
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2. .
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Descubra o que acontece com
, nos casos abaixo e justifique sua afirmação.
c)
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4. .
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