Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
2. sumn=0^infty n!(2 x-1)^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série de potências:
sumn=0^infty n! (2x - 1)^n
O conteúdo que vamos utilizar aqui é séries de potências, especificamente para determinar o raio de convergência e a região de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar aplicar o Teste da razão.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da razão para encontrar o raio de convergência. O Teste da razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Aqui, .

Passo 3

Calculando a razão:
an+1an = (n+1)! (2x - 1)^n+1n! (2x - 1)^n = (n+1) (2x - 1)

Passo 4

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty |(n+1)(2x - 1)| = |2x - 1| cdot limn to infty (n+1)
Como L = |2x - 1| cdot infty , temos:

Passo 5

Para que a série converja, segundo o Teste da razão, devemos ter . Mas aqui, , que só é menor que 1 se . Isso acontece quando , ou seja, .

Passo 6

Portanto, o raio de convergência , o que significa que a série só converge no ponto .

Resposta

O raio de convergência é e a região de convergência é apenas .

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Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
4. sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn 5^n.