Descubra quanto valem as constantes a, b, c e d
(ll a & b c & d ) *(ll 2 & 3 1 & 4 )=(ll 1 & 0 0 & 1 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar os valores das constantes a & b c & d * 2 & 3 1 & 4 = 1 & 0 0 & 1 , , e que satisfazem a seguinte multiplicação de matrizes:
$$

*

$$
Esse problema envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a multiplicação de matrizes e a inversa de uma matriz. Vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como determinar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes a & b c & d e e & f g & h , o produto A * B = a cdot e + b cdot g & a cdot f + b cdot h c cdot e + d cdot g & c cdot f + d cdot h é dado por:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
$$
a & b c & d * 2 & 3 1 & 4 = a cdot 2 + b cdot 1 & a cdot 3 + b cdot 4 c cdot 2 + d cdot 1 & c cdot 3 + d cdot 4
*
1 & 0 0 & 1

$$

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:
2a + b = 1 3a + 4b = 0 2c + d = 0 3c + 4d = 1
Isso nos dá um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver as equações para encontrar 8a + 4b = 4 (Equação 3) e 8a + 4b - (3a + 4b) = 4 - 0 5a = 4 a = 45 primeiro:
  1. 2 cdot 45 + b = 1 85 + b = 1 b = 1 - 85 b = -35  (Equação 1)
  2.  (Equação 2)
Podemos resolver o sistema usando o método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação.
Multiplicamos a Equação 1 por 4 para facilitar a eliminação de :
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
Agora, substituímos na Equação 1:

Passo 6

Agora, vamos resolver para d = -2c e 3c + 4(-2c) = 1 3c - 8c = 1 -5c = 1 c = -15 :
  1. d = -2 cdot (-15) d = 25  (Equação 4)
  2.  (Equação 5)
Resolvemos a Equação 4 para :
Substituímos isso na Equação 5:
Agora, substituímos na expressão para :

Resposta

As constantes são:
a = 45, b = -35, c = -15, d = 25

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