Mostre, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases…
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando vetores, que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e que seu comprimento é a média das medidas das bases. Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, propriedades de paralelismo e características do trapézio.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar um trapézio. Vamos chamar os vértices de , , e , onde e são as bases paralelas, e e são os lados não-paralelos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos médios dos lados não-paralelos e . Chamemos esses pontos de (médio de ) e (médio de ).
Usando a fórmula do ponto médio, temos:
Passo 4
Vamos encontrar o vetor que liga a , ou seja, . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :
Passo 5
Sabemos que e são as bases paralelas do trapézio, então os vetores e são paralelos, ou seja, .
Observando a expressão de :
Como e são paralelos, a soma deles também será um vetor paralelo às bases. Dividir por 2 não muda a direção, apenas escala o vetor. Portanto, é paralelo a e .
Passo 6
Agora, vamos calcular o comprimento de . Como , o módulo de será:
Como e são paralelos e na mesma direção, a soma é simplesmente a soma dos comprimentos:
Então,
Ou seja,
Resposta
Assim, mostramos que o segmento MN = AB + CD2 que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é a média das medidas das bases, ou seja: