Mostre, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases…

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar, usando vetores, que o segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e que seu comprimento é a média das medidas das bases. Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, propriedades de paralelismo e características do trapézio.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar um trapézio. Vamos chamar os vértices de , , e , onde e são as bases paralelas, e e são os lados não-paralelos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos médios dos lados não-paralelos M = A + D2 e N = B + C2 e . Chamemos esses pontos de (médio de ) e (médio de ).
Usando a fórmula do ponto médio, temos:

Passo 4

Vamos encontrar o vetor que liga MN = N - M = B + C2 - A + D2 = (B - A) + (C - D)2 a , ou seja, . Para isso, subtraímos as coordenadas de de :

Passo 5

Sabemos que MN = AB + CD2 e são as bases paralelas do trapézio, então os vetores e são paralelos, ou seja, .
Observando a expressão de :
Como e são paralelos, a soma deles também será um vetor paralelo às bases. Dividir por 2 não muda a direção, apenas escala o vetor. Portanto, é paralelo a e .

Passo 6

Agora, vamos calcular o comprimento de |MN| = | AB + CD2 | = |AB + CD|2 . Como |AB + CD| = |AB| + |CD| , o módulo de |MN| = |AB| + |CD|2 será:
MN = AB + CD2
Como e são paralelos e na mesma direção, a soma é simplesmente a soma dos comprimentos:
Então,
Ou seja,

Resposta

Assim, mostramos que o segmento MN = AB + CD2 que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e seu comprimento é a média das medidas das bases, ou seja:

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