Para que valores de k os vetores (1,2,0, k),(0,-1, k, 1),(0,2,1,0),(1,0,2,3 k) geram um subespaço de dimensão 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de os vetores , , e formam um subespaço de dimensão 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços vetoriais e dimensão. Para resolver, vamos analisar a independência linear desses vetores e descobrir quando eles geram um subespaço com exatamente três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha da matriz. Assim, temos:
A = 1 & 2 & 0 & k 0 & -1 & k & 1 0 & 2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 3k
Nosso objetivo é encontrar o posto dessa matriz. Se o posto for 3, significa que os vetores são linearmente dependentes (já que são 4 vetores em um espaço de 4 dimensões) e que eles geram um subespaço de dimensão 3.

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz, vamos simplificá-la usando operações elementares de linha. Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na primeira coluna da quarta linha:
1 & 2 & 0 & k 0 & -1 & k & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & -2 & 2 & 3k - k implies 1 & 2 & 0 & k 0 & -1 & k & 1 0 & 2 & 1 & 0 0 & -2 & 2 & 2k
Agora, vamos focar na submatriz 1 & 2 & 0 0 & -1 & k 0 & 2 & 1 formada pelas três primeiras linhas e primeiras três colunas para calcular seu determinante:
1 cdot (-1 cdot 1 - k cdot 2) - 2 cdot (0 cdot 1 - k cdot 0) + 0 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 0) = -1 - 2k
O determinante dessa submatriz é:
-1 - 2k neq 0 implies 2k neq -1 implies k neq -12
Para que o posto da matriz seja 3, esse determinante não pode ser zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar se para a matriz realmente tem posto 3. Como encontramos que o determinante da submatriz é não zero para , isso confirma que o posto da matriz é 3 nessas condições.

Resposta

Os valores de para os quais os vetores geram um subespaço de dimensão 3 são todos os números reais, exceto .

Exercícios relacionados

Obtenha a transformação linear T: R^3 P2(R) tal que
T(1,0,0)=1-x, T(-1,1,0)=1+x e T(2,-1,2)=1-x^2
Descubra a transformação linear T: R^2 P3(R) tal que
T(1,1)=x^2-1 e T(1,-1)=x^3+1
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
® 1x+a-1x+b.
Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa: