Para que valores de os vetores geram um subespaço de dimensão 3 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de os vetores , , e formam um subespaço de dimensão 3. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de espaços vetoriais e dimensão. Para resolver, vamos analisar a independência linear desses vetores e descobrir quando eles geram um subespaço com exatamente três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma linha da matriz. Assim, temos:
Nosso objetivo é encontrar o posto dessa matriz. Se o posto for 3, significa que os vetores são linearmente dependentes (já que são 4 vetores em um espaço de 4 dimensões) e que eles geram um subespaço de dimensão 3.
Passo 3
Para encontrar o posto da matriz, vamos simplificá-la usando operações elementares de linha. Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na primeira coluna da quarta linha:
Agora, vamos focar na submatriz 1 & 2 & 0 0 & -1 & k 0 & 2 & 1 formada pelas três primeiras linhas e primeiras três colunas para calcular seu determinante:
Para que o posto da matriz seja 3, esse determinante não pode ser zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos verificar se para a matriz realmente tem posto 3. Como encontramos que o determinante da submatriz é não zero para , isso confirma que o posto da matriz é 3 nessas condições.
Resposta
Os valores de para os quais os vetores geram um subespaço de dimensão 3 são todos os números reais, exceto .