Descubra a transformação linear
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir uma transformação linear
que leva polinômios de grau até 3 em matrizes
. A gente vai usar os dados que o exercício te dá para definir como essa transformação funciona. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como manipular as combinações lineares dos polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear
satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Isso significa que se a gente souber como
age em algumas funções básicas, dá para descobrir para qualquer combinação delas.
Passo 3
Vamos olhar os dados que o exercício te deu:
Vamos usar a propriedade da aditividade para descobrir
,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
. Sabemos que:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos descobrir
. Sabemos que:
Isolando
:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar
. Sabemos que:
Isolando
:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
Ou, de forma mais compacta:
onde
.