Descubra a transformação linear T: P3(R) R^2 times 2 tal que
& T(1)=[rr -1 & 1 0 & 0 ], T(1+x)=[ll 1 & 1 0 & 0 ], & T(1+x+x^2)=[ll 0 & 0 1 & 0 ] e T(1+x+x^2+x^3)=[ll 0 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir uma transformação linear que leva polinômios de grau até 3 em matrizes . A gente vai usar os dados que o exercício te dá para definir como essa transformação funciona. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como manipular as combinações lineares dos polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que se a gente souber como age em algumas funções básicas, dá para descobrir para qualquer combinação delas.

Passo 3

Vamos olhar os dados que o exercício te deu:
  • -1 & 1 0 & 0
  • 1 & 1 0 & 0
  • 0 & 0 1 & 0
  • 0 & 0 0 & 1
Vamos usar a propriedade da aditividade para descobrir , e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar T(1+x) = T(1) + T(x) . Sabemos que:
T(x) = T(1+x) - T(1) = 1 & 1 0 & 0 - -1 & 1 0 & 0 = 2 & 0 0 & 0
Então, isolando :

Passo 5

Agora, vamos descobrir T(1+x+x^2) = T(1) + T(x) + T(x^2) . Sabemos que:
T(x^2) = T(1+x+x^2) - T(1) - T(x) = 0 & 0 1 & 0 - -1 & 1 0 & 0 - 2 & 0 0 & 0
Isolando T(x^2) = 0 - (-1) - 2 & 0 - 1 - 0 1 - 0 - 0 & 0 - 0 - 0 = -1 & -1 1 & 0 :

Passo 6

Por fim, vamos encontrar T(1+x+x^2+x^3) = T(1) + T(x) + T(x^2) + T(x^3) . Sabemos que:
T(x^3) = T(1+x+x^2+x^3) - T(1) - T(x) - T(x^2)
Isolando T(x^3) = 0 & 0 0 & 1 - -1 & 1 0 & 0 - 2 & 0 0 & 0 - -1 & -1 1 & 0 :
T(x^3) = 0 - (-1) - 2 - (-1) & 0 - 1 - 0 - (-1) 0 - 0 - 0 - 1 & 1 - 0 - 0 - 0 = 0 & 0 -1 & 1

Resposta

A transformação linear T(a + b x + c x^2 + d x^3) = a -1 & 1 0 & 0 + b 2 & 0 0 & 0 + c -1 & -1 1 & 0 + d 0 & 0 -1 & 1 é dada por:
T(p(x)) = -a + 2b - c & a - c c - d & d
Ou, de forma mais compacta:
onde .

Exercícios relacionados

Ex. 1. Simplifique as expressões:
(k) m^2-2 m n+3 n^2-(2 m^2+5 m n-3 n^2);
Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2]. Defina a transformação linear T(x)=A x.
(a) T é injetora?
(b) Mostre que T não é sobrejetora e encontre um vetor de R^3 que não está na imagem de T.
Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
(b) C como R-espaço vetorial.
Os vetores dos exercícios 16 - 17 pertencem a um mesmo plano? Justifique sua resposta.