Seja . Defina a transformação linear T(x)=A x.
(a) T é injetora?
(b) Mostre que T não é sobrejetora e encontre um vetor de R^3 que não está na imagem de T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e uma transformação linear . A pergunta é saber se é injetora e, depois, mostrar que ela não é sobrejetora, encontrando um vetor que não está na imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre injetividade e sobrejetividade de transformações lineares, e usar conceitos como determinante e sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, pra saber se é injetora, a gente verifica se o núcleo de contém apenas o vetor zero. Isso significa que a equação tem só a solução trivial. Se isso for verdade, é injetora. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 3
Calculando o determinante de A = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2 :
Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é inversível e o núcleo de tem mais vetores além do vetor zero.
Passo 4
Então, como o núcleo contém mais vetores que apenas o zero, não é injetora. Isso responde à parte (a).
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Para mostrar que não é sobrejetora, precisamos demonstrar que existe pelo menos um vetor em que não pode ser obtido pela transformação . Isso significa que a imagem de não cobre todo o espaço .
Passo 6
Para encontrar tal vetor, podemos olhar para o posto da matriz . Já que , o posto é menor que 3. Resolvendo o sistema , verificamos que nem todo terá solução. Vamos tentar encontrar um vetor que não está na imagem de .
Passo 7
Escolheremos 0 0 1 . Vamos ver se existe 1x1 - 1x2 + 0x3 = 0 0x1 + 2x2 + 1x3 = 0 3x1 - 7x2 - 2x3 = 1 tal que x1 = x2 e 2x2 + x3 = 0 Rightarrow x3 = -2x2 :