Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2]. Defina a transformação linear T(x)=A x.
(a) T é injetora?
(b) Mostre que T não é sobrejetora e encontre um vetor de R^3 que não está na imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e uma transformação linear . A pergunta é saber se é injetora e, depois, mostrar que ela não é sobrejetora, encontrando um vetor que não está na imagem de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre injetividade e sobrejetividade de transformações lineares, e usar conceitos como determinante e sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, pra saber se é injetora, a gente verifica se o núcleo de contém apenas o vetor zero. Isso significa que a equação tem só a solução trivial. Se isso for verdade, é injetora. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 3

Calculando o determinante de A = 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 3 & -7 & -2 :
det(A) = 1 cdot (2 cdot (-2) - 1 cdot (-7)) - (-1) cdot (0 cdot (-2) - 1 cdot 3) + 0 cdot ()
Usando a regra de Sarrus ou co-fatores, encontramos que:
det(A) = 1 cdot (-4 + 7) + 1 cdot (0 - 3) + 0 = 3 - 3 + 0 = 0
Como o determinante de é zero, isso significa que a matriz não é inversível e o núcleo de tem mais vetores além do vetor zero.

Passo 4

Então, como o núcleo contém mais vetores que apenas o zero, não é injetora. Isso responde à parte (a).

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Para mostrar que não é sobrejetora, precisamos demonstrar que existe pelo menos um vetor em que não pode ser obtido pela transformação . Isso significa que a imagem de não cobre todo o espaço .

Passo 6

Para encontrar tal vetor, podemos olhar para o posto da matriz . Já que , o posto é menor que 3. Resolvendo o sistema , verificamos que nem todo terá solução. Vamos tentar encontrar um vetor que não está na imagem de .

Passo 7

Escolheremos 0 0 1 . Vamos ver se existe 1x1 - 1x2 + 0x3 = 0 0x1 + 2x2 + 1x3 = 0 3x1 - 7x2 - 2x3 = 1 tal que x1 = x2 e 2x2 + x3 = 0 Rightarrow x3 = -2x2 :
3x2 - 7x2 - 2(-2x2) = 1 Rightarrow -4x2 + 4x2 = 1 Rightarrow 0 = 1
Resolvendo o sistema, das duas primeiras equações:
0 0 1
Substituindo na terceira equação:
Isso é impossível! Portanto, não existe que satisfaça o sistema para .

Resposta

(a) A transformação 0 0 1 não é injetora.
(b) não é sobrejetora e um vetor que não está na imagem de é .

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