Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol, utilizando uma viga de 18 m de comprimento. Determine as dimensões da trave para que a área do gol seja a máxima possível.

Passo 1

Então, a gente tem que construir uma trave para um campo de futebol usando uma viga de 18 metros de comprimento. A tarefa é descobrir quais devem ser as dimensões dessa trave para que a área do gol seja a maior possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática, especialmente conceitos de otimização e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a trave do gol como um retângulo. Isso porque o gol geralmente tem formato retangular. Então, vamos chamar a largura do gol de metros e a altura de metros.

Passo 3

Sabemos que a viga completa tem 18 metros e vai servir para os quatro lados do retângulo (duas larguras e duas alturas). Então, podemos escrever a equação do perímetro:

Passo 4

Queremos encontrar a área do gol, que é dada por:
Á
Mas precisamos expressar essa área em termos de uma única variável. Vamos resolver a equação do perímetro para :

Passo 5

Agora, substituímos na equação da área:
Á
Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar a função da área em relação a e igualar a zero:
Á

Passo 6

Agora que temos metros, podemos encontrar :

Resposta

As dimensões da trave para que a área do gol seja a máxima possível são de largura e de altura.

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