Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol, utilizando uma viga de
de comprimento. Determine as dimensões da trave para que a área do gol seja a máxima possível.
Passo 1
Então, a gente tem que construir uma trave para um campo de futebol usando uma viga de 18 metros de comprimento. A tarefa é descobrir quais devem ser as dimensões dessa trave para que a área do gol seja a maior possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática, especialmente conceitos de otimização e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a trave do gol como um retângulo. Isso porque o gol geralmente tem formato retangular. Então, vamos chamar a largura do gol de
metros e a altura de
metros.
Passo 3
Sabemos que a viga completa tem 18 metros e vai servir para os quatro lados do retângulo (duas larguras e duas alturas). Então, podemos escrever a equação do perímetro:
Passo 4
Queremos encontrar a área do gol, que é dada por:
Mas precisamos expressar essa área em termos de uma única variável. Vamos resolver a equação do perímetro para
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da área:
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar a função da área em relação a
e igualar a zero:
Passo 6
Agora que temos
metros, podemos encontrar
:
Resposta
As dimensões da trave para que a área do gol seja a máxima possível são
de largura e
de altura.