Esboce o gráfico das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai desenhar o gráfico da função
. Isso envolve entender algumas ideias de cálculo, como domínio, derivadas e comportamento da função. Vamos precisar saber como calcular logaritmos, derivar funções e analisar o comportamento da função em diferentes partes do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. No caso de
, o logaritmo natural
só está definido para
. Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto onde a função cruza o eixo dos
, ou seja, quando
. Isso porque
, então:
Portanto, a função passa pela origem
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0. Como
tende a menos infinito quando
tende a 0 por valores positivos, e
está se aproximando de 0, o produto
também tende a 0. Então:
Isso significa que a função se aproxima de 0 nesse ponto.
Passo 5
Para entender como a função se comporta quando
tende ao infinito, vamos calcular o limite:
Sabemos que
cresce sem limites quando
aumenta, e multiplicando por
, que também vai para infinito, o limite é:
Então, a função cresce indefinidamente.
Passo 6
Vamos agora calcular a derivada da função para encontrar onde ela está aumentando ou diminuindo e possíveis pontos de máximo ou mínimo. A derivada de
é:
Então,
.
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou indefinida, resolvemos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 8
Vamos determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada.
A segunda derivada de
é:
Como
para
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, então
é um ponto de mínimo.
Passo 9
Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
- Interseção com o eixo y:
- Comportamento próximo a 0: A função se aproxima de 0.
- Comportamento quando
: A função tende ao infinito positivo. - Ponto de mínimo:
, com - Crescimento e decrescimento:
- Para
, (função decresce) - Para
, (função cresce)
- Para
Resposta
O gráfico da função
está definido para
, possui um ponto de mínimo em
, passa pelo ponto
, e cresce indefinidamente conforme
aumenta. A função decresce de
até
e cresce a partir daí.