Esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x) = x ln(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai desenhar o gráfico da função . Isso envolve entender algumas ideias de cálculo, como domínio, derivadas e comportamento da função. Vamos precisar saber como calcular logaritmos, derivar funções e analisar o comportamento da função em diferentes partes do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. No caso de , o logaritmo natural só está definido para . Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto onde a função cruza o eixo dos , ou seja, quando . Isso porque , então:
Portanto, a função passa pela origem .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Como tende a menos infinito quando tende a 0 por valores positivos, e está se aproximando de 0, o produto também tende a 0. Então:
Isso significa que a função se aproxima de 0 nesse ponto.

Passo 5

Para entender como a função se comporta quando tende ao infinito, vamos calcular o limite:
Sabemos que cresce sem limites quando aumenta, e multiplicando por , que também vai para infinito, o limite é:
Então, a função cresce indefinidamente.

Passo 6

Vamos agora calcular a derivada da função para encontrar onde ela está aumentando ou diminuindo e possíveis pontos de máximo ou mínimo. A derivada de é:
Então, .

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou indefinida, resolvemos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 8

Vamos determinar se esse ponto crítico é um mínimo ou máximo usando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada.
A segunda derivada de é:
Como para , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, então é um ponto de mínimo.

Passo 9

Agora, vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio:
  • Interseção com o eixo y:
  • Comportamento próximo a 0: A função se aproxima de 0.
  • Comportamento quando : A função tende ao infinito positivo.
  • Ponto de mínimo: , com
  • Crescimento e decrescimento:
    • Para , (função decresce)
    • Para , (função cresce)

Resposta

O gráfico da função está definido para , possui um ponto de mínimo em , passa pelo ponto , e cresce indefinidamente conforme aumenta. A função decresce de até e cresce a partir daí.

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