Esboce o gráfico das funções a seguir:
f(x)=(x^2-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções polinomiais, como encontrar os zeros da função, analisar o comportamento da função em torno desses zeros, e observar como a função se comporta quando cresce ou diminui muito. Vamos precisar de um pouco de cálculo básico e entendimento de gráficos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso acontece quando .
Resolvendo:
Então, os zeros estão em e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a multiplicidade desses zeros. O expoente 3 indica que temos uma multiplicidade ímpar. Isso nos diz que o gráfico cruzará o eixo nesses pontos.
Além disso, observamos que a função é uma potência cúbica, o que influencia no comportamento das extremidades da função ( e ).

Passo 4

Vamos investigar o comportamento da função para valores grandes de :
  • Quando se aproxima de :
  • Quando se aproxima de :
Isso significa que as extremidades da função vão para cima em ambos os lados do gráfico.

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico com base nas informações:
  • Os zeros estão em e , e o gráfico cruza o eixo nesses pontos.
  • Para entre e , é negativo, então será negativo, formando um vale.
  • Para , é positivo e aumenta rapidamente devido à potência cúbica.

Resposta

O gráfico de tem zeros em e , cruza o eixo nesses pontos, possui um vale entre eles e tende ao infinito positivo nas extremidades. As extremidades do gráfico sobem para quando vai para .

Exercícios relacionados