Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de
de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio,
rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de
o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa
o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa ajudar a encontrar o caminho mais barato para estender um cabo da usina até a fábrica, que está do outro lado do rio. O rio tem 900 metros de largura e a fábrica está 3.000 metros rio abaixo. Temos dois custos:
por metro dentro do rio e
por metro na terra. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para minimizar esse custo total e descobrir qual é o melhor caminho para o cabo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de custo que foi dada:
Aqui, x representa a distância ao longo do rio onde o cabo sai da água e vai para a terra. A primeira parte,
, calcula o custo de estender o cabo pelo rio, que forma um triângulo retângulo com 900 metros de largura. A segunda parte,
, é o custo de estender o cabo por terra até a fábrica.
Passo 3
Para encontrar o valor de x que minimiza o custo total, vamos derivar a função c(x) em relação a x e igualar a derivada a zero. Isso porque o ponto mínimo ocorre onde a inclinação da função é zero.
Primeiro, vamos derivar cada parte:
- Derivada de
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
é
.
Então:
- Derivada de
:
Passo 4
Agora, colocamos tudo junto para obter a derivada total da função custo:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para x:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 9:
Simplificando:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora que encontramos que x = 1200 metros, vamos verificar qual é o custo mínimo substituindo esse valor na função c(x):
Calculando as partes:
Agora, multiplicando pelos custos:
Resposta
O percurso mais econômico para estender o cabo é sair da água a 1.200 metros rio abaixo, resultando em um custo total de R$ 14.700,00.