Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa o metro, enquanto que para estendê-lo por terra custa o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?
4,00

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa ajudar a encontrar o caminho mais barato para estender um cabo da usina até a fábrica, que está do outro lado do rio. O rio tem 900 metros de largura e a fábrica está 3.000 metros rio abaixo. Temos dois custos: por metro dentro do rio e por metro na terra. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para minimizar esse custo total e descobrir qual é o melhor caminho para o cabo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de custo que foi dada:
Aqui, x representa a distância ao longo do rio onde o cabo sai da água e vai para a terra. A primeira parte, , calcula o custo de estender o cabo pelo rio, que forma um triângulo retângulo com 900 metros de largura. A segunda parte, , é o custo de estender o cabo por terra até a fábrica.

Passo 3

Para encontrar o valor de x que minimiza o custo total, vamos derivar a função c(x) em relação a x e igualar a derivada a zero. Isso porque o ponto mínimo ocorre onde a inclinação da função é zero.
Primeiro, vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
Então:
  1. Derivada de :

Passo 4

Agora, colocamos tudo junto para obter a derivada total da função custo:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para x:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 9:
Simplificando:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora que encontramos que x = 1200 metros, vamos verificar qual é o custo mínimo substituindo esse valor na função c(x):
Calculando as partes:
Agora, multiplicando pelos custos:

Resposta

O percurso mais econômico para estender o cabo é sair da água a 1.200 metros rio abaixo, resultando em um custo total de R$ 14.700,00.

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