Encontre a equação da reta tangente a curva
, no ponto
. Utilize o método de limites e de derivadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que é tangente à curva
no ponto
. Para isso, vamos usar dois métodos: o de derivadas e o de limites. Vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função e como aplicar limites para achar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método das derivadas. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de
.
Sabemos que
pode ser escrita como
. A regra de derivação para potências diz que, se
, então
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma
:
Passo 6
Agora, vamos resolver usando o método dos limites. A ideia é calcular a inclinação da reta tangente como o limite da razão entre a variação de
e a variação de
quando
tende a 9.
A inclinação
é dada por:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
, então:
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado para racionalizar:
Passo 8
Agora, substituímos
:
Conseguimos a mesma inclinação,
.
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é: