Encontre a equação da reta tangente a curva y = raiz(x), no ponto P(9,3). Utilize o método de limites e de derivadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta que é tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar dois métodos: o de derivadas e o de limites. Vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função e como aplicar limites para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método das derivadas. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos encontrar a derivada de .
Sabemos que pode ser escrita como . A regra de derivação para potências diz que, se , então .
Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma :

Passo 6

Agora, vamos resolver usando o método dos limites. A ideia é calcular a inclinação da reta tangente como o limite da razão entre a variação de e a variação de quando tende a 9.
A inclinação é dada por:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então:
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado para racionalizar:

Passo 8

Agora, substituímos :
Conseguimos a mesma inclinação, .

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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