Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa construir uma caixa retangular sem tampa com um volume de 1 metro cúbico. O custo do material das laterais é três vezes o do material do fundo. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa que vão minimizar esse custo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e cálculo de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis das dimensões da caixa. Vamos chamar:
  • = comprimento da caixa (em metros)
  • = largura da caixa (em metros)
  • = altura da caixa (em metros)
Sabendo que o volume da caixa é 1 m³, temos a equação do volume:

Passo 3

Agora, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para :

Passo 4

Vamos falar sobre o custo dos materiais. O fundo da caixa tem área e o custo desse material será , onde é o custo por metro quadrado do material do fundo.
As laterais têm duas faces de área e duas faces de área . Como o material das laterais custa três vezes o do fundo, o custo total das laterais será:
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

O custo total da caixa é a soma do custo do fundo e das laterais:
Para simplificar, podemos dividir todos os termos por :

Passo 6

Agora, queremos minimizar essa função de custo com relação a e . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e igualá-las a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Vamos substituir da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Como não pode ser zero, temos:

Passo 8

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a primeira equação:
Então, metros.

Passo 9

Por fim, vamos encontrar usando a equação do volume:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo são:

Exercícios relacionados

Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
e
Suponha , com diferenciáveis. Se e , determine as derivadas parciais da em .
Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .
Seja . Se ev , mostre que