Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com
de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa construir uma caixa retangular sem tampa com um volume de 1 metro cúbico. O custo do material das laterais é três vezes o do material do fundo. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da caixa que vão minimizar esse custo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e cálculo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis das dimensões da caixa. Vamos chamar:
-
= comprimento da caixa (em metros) -
= largura da caixa (em metros) -
= altura da caixa (em metros)
Sabendo que o volume da caixa é 1 m³, temos a equação do volume:
Passo 3
Agora, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos resolver para
:
Passo 4
Vamos falar sobre o custo dos materiais. O fundo da caixa tem área
e o custo desse material será
, onde
é o custo por metro quadrado do material do fundo.
As laterais têm duas faces de área
e duas faces de área
. Como o material das laterais custa três vezes o do fundo, o custo total das laterais será:
Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
O custo total
da caixa é a soma do custo do fundo e das laterais:
Para simplificar, podemos dividir todos os termos por
:
Passo 6
Agora, queremos minimizar essa função de custo
com relação a
e
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Vamos substituir
da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Como
não pode ser zero, temos:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a primeira equação:
Então,
metros.
Passo 9
Por fim, vamos encontrar
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo são:
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Suponha
, com
diferenciáveis. Se
e
, determine as derivadas parciais da
em
.
Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo
Seja
. Se
ev
, mostre que