Suponha , com diferenciáveis. Se e , determine as derivadas parciais da em .

Passo 1

Vamos lá! Temos a função , onde e são diferenciáveis. A questão pede para determinar as derivadas parciais de no ponto , sabendo que em , e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as variáveis intermediárias:
Assim, .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de e :

Passo 5

No ponto , substituindo:

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada de :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 8

Substituindo na primeira equação:

Resposta

As derivadas parciais de em são:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano , no ponto .
Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
e
Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.