Suponha
, com
diferenciáveis. Se
e
, determine as derivadas parciais da
em
.
Passo 1
Vamos lá! Temos a função
, onde
e
são diferenciáveis. A questão pede para determinar as derivadas parciais de
no ponto
, sabendo que em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as variáveis intermediárias:
Assim,
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
No ponto
, substituindo:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada de
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
As derivadas parciais de
em
são: