Suponha
, com
diferenciáveis. Se
e
, determine as derivadas parciais da
em
.
Passo 1
Vamos lá! Temos a função
, onde
e
são diferenciáveis. A questão pede para determinar as derivadas parciais de
no ponto
, sabendo que em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as variáveis intermediárias:
Assim,
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
No ponto
, substituindo:
Passo 6
Substituindo na expressão da derivada de
:
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 8
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
As derivadas parciais de
em
são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com
de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.