Suponha f(x, y)=g(x^2 y, x^3 y^2), com f, g diferenciáveis. Se partial fpartial x(2,1)=16 e partial fpartial y(2,1)=8, determine as derivadas parciais da g em (4,8).

Passo 1

Vamos lá! Temos a função , onde e são diferenciáveis. A questão pede para determinar as derivadas parciais de no ponto , sabendo que em , e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as variáveis intermediárias:
u = x^2 y e v = x^3 y^2
Assim, .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais, temos:
partial fpartial x = partial gpartial u cdot partial upartial x + partial gpartial v cdot partial vpartial x
partial fpartial y = partial gpartial u cdot partial upartial y + partial gpartial v cdot partial vpartial y

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial upartial x = 2x y e partial upartial y = x^2 e partial vpartial x = 3x^2 y^2 e partial vpartial y = 2x^3 y :

Passo 5

No ponto partial upartial x(2,1) = 2 cdot 2 cdot 1 = 4 , substituindo:
partial upartial y(2,1) = 2^2 = 4
partial vpartial x(2,1) = 3 cdot 2^2 cdot 1^2 = 12
partial vpartial y(2,1) = 2 cdot 2^3 cdot 1 = 16

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada de 16 = partial gpartial u cdot 4 + partial gpartial v cdot 12 :
8 = partial gpartial u cdot 4 + partial gpartial v cdot 16

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
4 partial gpartial u + 12 partial gpartial v = 16
4 partial gpartial u + 16 partial gpartial v = 8
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(4 partial gpartial u + 16 partial gpartial v) - (4 partial gpartial u + 12 partial gpartial v) = 8 - 16
4 partial gpartial v = -8 Rightarrow partial gpartial v = -2

Passo 8

Substituindo 4 partial gpartial u + 12 (-2) = 16 na primeira equação:
4 partial gpartial u - 24 = 16 Rightarrow 4 partial gpartial u = 40 Rightarrow partial gpartial u = 10

Resposta

As derivadas parciais de partial gpartial u(4,8) = 10 e partial gpartial v(4,8) = -2 em são:

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