Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a área do maior retângulo que cabe dentro do círculo definido pela equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o círculo . Este é um círculo centrado na origem (0,0) com raio .

Passo 3

Vamos considerar um retângulo inscrito nesse círculo. Suponha que um dos vértices do retângulo esteja no ponto . Pelo simetria do círculo, os outros três vértices serão , e .

Passo 4

A área do retângulo pode ser calculada multiplicando sua largura pela altura. Neste caso, a largura será e a altura será . Assim, a área é:

Passo 5

Agora, precisamos maximizar a área sujeita à restrição do círculo . Podemos usar o método de substituição para isso.

Passo 6

Vamos resolver a equação do círculo para :
Substituindo na expressão da área:

Passo 7

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
áéé

Passo 8

Substituindo na equação do círculo para encontrar :

Resposta

A área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo é unidades de área.

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e
Seja . Se ev , mostre que
Determine , para definida implicitamente por: