Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo
.
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a área do maior retângulo que cabe dentro do círculo definido pela equação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo
. Este é um círculo centrado na origem (0,0) com raio
.
Passo 3
Vamos considerar um retângulo inscrito nesse círculo. Suponha que um dos vértices do retângulo esteja no ponto
. Pelo simetria do círculo, os outros três vértices serão
,
e
.
Passo 4
A área
do retângulo pode ser calculada multiplicando sua largura pela altura. Neste caso, a largura será
e a altura será
. Assim, a área é:
Passo 5
Agora, precisamos maximizar a área
sujeita à restrição do círculo
. Podemos usar o método de substituição para isso.
Passo 6
Vamos resolver a equação do círculo para
:
Substituindo na expressão da área:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Substituindo
na equação do círculo para encontrar
:
Resposta
A área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo
é
unidades de área.
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Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Seja
. Se
ev
, mostre que
Determine
, para
definida implicitamente por: