Determine o vetor gradiente da funçāo em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
.
e
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos encontrar o vetor gradiente dessa função no ponto
. Além disso, devemos calcular a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o vetor gradiente e a derivada direcional. O vetor gradiente nos dá as inclinações máximas da função em cada direção, e a derivada direcional nos diz como a função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente, denotado por
, é formado pelas derivadas parciais da função em relação a
e
.
Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Portanto, o vetor gradiente
é:
Agora, vamos avaliar esse vetor no ponto
. Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Agora, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
A derivada direcional
é dada por:
Onde
é o vetor unitário na direção de
. Primeiro, precisamos encontrar
.
Passo 6
Calculando o vetor unitário
:
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 7
Agora, temos o vetor gradiente em
, que é
, e o vetor unitário
.
Calculamos a derivada direcional usando o produto escalar:
Resposta
O vetor gradiente da função em
é
e a derivada direcional nesse ponto na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Suponha
, com
diferenciáveis. Se
e
, determine as derivadas parciais da
em
.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Deseja-se construir uma caixa retangular sem tampa com
de volume. Se o material utilizado nas laterais custa o triplo do material utilizado no fundo, determine as dimensōes da caixa que minimizam o custo.
Determine:
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo .
a área do maior retângulo que pode ser inscrito no círculo