Determine o vetor gradiente da funçāo em e a derivada direcional em na direção do vetor .
e

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar o vetor gradiente dessa função no ponto . Além disso, devemos calcular a derivada direcional nesse ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o vetor gradiente e a derivada direcional. O vetor gradiente nos dá as inclinações máximas da função em cada direção, e a derivada direcional nos diz como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor gradiente da função . O vetor gradiente, denotado por , é formado pelas derivadas parciais da função em relação a e .
Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Portanto, o vetor gradiente é:
Agora, vamos avaliar esse vetor no ponto . Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Agora, substituímos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
A derivada direcional é dada por:
Onde é o vetor unitário na direção de . Primeiro, precisamos encontrar .

Passo 6

Calculando o vetor unitário :
Primeiro, calculamos o comprimento (magnitude) de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Agora, temos o vetor gradiente em , que é , e o vetor unitário .
Calculamos a derivada direcional usando o produto escalar:

Resposta

O vetor gradiente da função em é e a derivada direcional nesse ponto na direção de é .

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