Mostre que para qualquer , a reta tangente ao gráfico de não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que, para qualquer , a reta tangente ao gráfico da função só toca a curva nesse ponto específico e não cruza a curva em nenhum outro lugar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e, depois, verificar se essa reta intercepta a curva em mais algum ponto além de .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de é . Então, a inclinação da tangente no ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto . Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo e , a equação fica:
Simplificando, temos:

Passo 4

Para verificar se a reta tangente intercepta a curva em algum outro ponto além de , igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Essa é uma equação quadrática em . Vamos multiplicar todos os termos por para simplificar:
Essa equação pode ser escrita como:
A única solução para essa equação é .

Resposta

Portanto, a reta tangente ao gráfico de no ponto não intercepta a curva em nenhum outro ponto além do ponto de tangência .

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