Mostre que para qualquer
, a reta tangente ao gráfico de
não intercepta esta curva com exceção do ponto de tangência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que, para qualquer
, a reta tangente ao gráfico da função
só toca a curva nesse ponto específico
e não cruza a curva em nenhum outro lugar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a equação da reta tangente e, depois, verificar se essa reta intercepta a curva em mais algum ponto além de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. A derivada de
é
. Então, a inclinação da tangente no ponto
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto
. Usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo
e
, a equação fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para verificar se a reta tangente intercepta a curva
em algum outro ponto além de
, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos multiplicar todos os termos por
para simplificar:
Essa equação pode ser escrita como:
A única solução para essa equação é
.
Resposta
Portanto, a reta tangente ao gráfico de
no ponto
não intercepta a curva em nenhum outro ponto além do ponto de tangência
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos da curva
mais próximos da origem.
Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos
e
distantes 4 km um do outro e situados nas margens opostas de um rio que tem 1 km de largura. Do ponto
até um ponto
na margem oposta, a construção será feita sob a água e de
até
, a construção será feita à superfície. Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do ponto
para que o custo total da obra seja o menor possível?
Estude a concavidade e encontre, caso existam, os pontos de inflexão de:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
A diferença entre dois números é 20. Determine os números de modo que o produto seja o menor possível.