Deseja-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios (semi esferas) nas extremidades. O custo do m^2 dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser 10 pi m^3, que dimensões minimizarão o custo da construção?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir um tanque que tem a forma de um cilindro com dois hemisférios nas extremidades. A capacidade total do tanque deve ser . Além disso, o custo por metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (o raio e a altura) que minimizam o custo da construção. Para resolver isso, vamos precisar usar geometria para calcular volumes e áreas, e um pouco de cálculo para otimizar o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o raio do cilindro de e a altura do cilindro de . A forma do tanque é composta por um cilindro e dois hemisférios, que juntos formam uma esfera. Então, o volume total do tanque é a soma do volume do cilindro e do volume da esfera.
O volume do cilindro é dado por:
E o volume da esfera (que é formada pelos dois hemisférios) é:
Então, o volume total é:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para , porque queremos expressar tudo em termos de para facilitar a otimização do custo.
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo total da construção. O custo depende das áreas das partes do tanque e do custo por metro quadrado de cada parte.
A área do cilindro é:
A área dos dois hemisférios (que juntos formam uma esfera) é:
é
Mas, lembrando que o custo dos hemisférios é o dobro do custo do cilindro, vamos considerar isso na fórmula do custo.
Vamos chamar o custo da parte cilíndrica por metro quadrado de . Então, o custo dos hemisférios será .
Então, o custo total é:
é
Podemos simplificar tirando em evidência:
Como é uma constante, para minimizar , precisamos minimizar a expressão dentro dos parênteses:

Passo 5

Já temos uma expressão para em termos de . Vamos substituir na fórmula do custo:
Simplificando:

Passo 6

Para minimizar o custo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :
Então:

Passo 7

Com o valor de , podemos encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo :

Resposta

As dimensões que minimizam o custo da construção do tanque são aproximadamente:
  • Raio ®:
  • Altura do cilindro (h):

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