Deseja-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios (semi esferas) nas extremidades. O custo do
dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser
, que dimensões minimizarão o custo da construção?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir um tanque que tem a forma de um cilindro com dois hemisférios nas extremidades. A capacidade total do tanque deve ser
. Além disso, o custo por metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Nosso objetivo é encontrar as dimensões (o raio e a altura) que minimizam o custo da construção. Para resolver isso, vamos precisar usar geometria para calcular volumes e áreas, e um pouco de cálculo para otimizar o custo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o raio do cilindro de
e a altura do cilindro de
. A forma do tanque é composta por um cilindro e dois hemisférios, que juntos formam uma esfera. Então, o volume total
do tanque é a soma do volume do cilindro e do volume da esfera.
O volume do cilindro é dado por:
E o volume da esfera (que é formada pelos dois hemisférios) é:
Então, o volume total é:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para
, porque queremos expressar tudo em termos de
para facilitar a otimização do custo.
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo total
da construção. O custo depende das áreas das partes do tanque e do custo por metro quadrado de cada parte.
A área do cilindro é:
A área dos dois hemisférios (que juntos formam uma esfera) é:
Mas, lembrando que o custo dos hemisférios é o dobro do custo do cilindro, vamos considerar isso na fórmula do custo.
Vamos chamar o custo da parte cilíndrica por metro quadrado de
. Então, o custo dos hemisférios será
.
Então, o custo total é:
Podemos simplificar tirando
em evidência:
Como
é uma constante, para minimizar
, precisamos minimizar a expressão dentro dos parênteses:
Passo 5
Já temos uma expressão para
em termos de
. Vamos substituir
na fórmula do custo:
Simplificando:
Passo 6
Para minimizar o custo, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Então:
Passo 7
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Substituindo
:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo da construção do tanque são aproximadamente:
- Raio ®:
- Altura do cilindro (h):
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