Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada r. Para tal, foi proposto um controlador K(s)= 2 k(s+3)(s+4) que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine a lei de controle u[k]=f(u[k-1], u[k-2], e[k], e[k-1]) que será implementada no computador, onde e[k] é o erro entre as velocidades medida e desejada.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: queremos controlar a velocidade de rotação de um tubo para que ela siga uma velocidade desejada K(s) = 2k(s+3)(s+4) . Para isso, usamos um controlador no domínio contínuo dado por:
Nosso objetivo é encontrar a lei de controle no domínio discreto, ou seja, uma equação que determine com base nos valores anteriores de e do erro .
Para resolver isso, vamos precisar entender como converter um controlador contínuo em um controlador discreto e como escrever a equação de controle em termos de valores passados.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a transformada de Laplace do controlador contínuo K(s) = 2k(s+3)(s+4) :
Para implementar esse controlador em um computador, precisamos transformá-lo para o domínio discreto. Uma das formas de fazer isso é usando a Transformada Z.

Passo 3

Assumindo que estamos usando uma amostragem com período s = 2T cdot 1 - z^-11 + z^-1 , podemos aplicar a aproximação de Tustin (também conhecida como método bilinear) para converter para :
Substituindo em , obtemos , que será uma função de .

Passo 4

Depois de substituir, teremos uma expressão de K(z) = b0 + b1 z^-11 + a1 z^-1 + a2 z^-2 na forma:
Isso representa um controlador com dois termos de memória em e dois termos de memória no erro .

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para obter u[k] = -a1 u[k-1] - a2 u[k-2] + b0 e[k] + b1 e[k-1] em função de , , e :
Essa é a lei de controle discreta que queremos implementar no computador.

Resposta

A lei de controle discreta a ser implementada no computador é:
u[k] = -a1 u[k-1] - a2 u[k-2] + b0 e[k] + b1 e[k-1]
Onde os coeficientes , , e são determinados a partir da discretização do controlador contínuo usando a Transformada de Tustin ou outro método de discretização adequado.

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