Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada . Para tal, foi proposto um controlador que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine a lei de controle que será implementada no computador, onde é o erro entre as velocidades medida e desejada.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: queremos controlar a velocidade de rotação de um tubo para que ela siga uma velocidade desejada . Para isso, usamos um controlador no domínio contínuo dado por:
Nosso objetivo é encontrar a lei de controle no domínio discreto, ou seja, uma equação que determine com base nos valores anteriores de e do erro .
Para resolver isso, vamos precisar entender como converter um controlador contínuo em um controlador discreto e como escrever a equação de controle em termos de valores passados.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a transformada de Laplace do controlador contínuo :
Para implementar esse controlador em um computador, precisamos transformá-lo para o domínio discreto. Uma das formas de fazer isso é usando a Transformada Z.

Passo 3

Assumindo que estamos usando uma amostragem com período , podemos aplicar a aproximação de Tustin (também conhecida como método bilinear) para converter para :
Substituindo em , obtemos , que será uma função de .

Passo 4

Depois de substituir, teremos uma expressão de na forma:
Isso representa um controlador com dois termos de memória em e dois termos de memória no erro .

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para obter em função de , , e :
Essa é a lei de controle discreta que queremos implementar no computador.

Resposta

A lei de controle discreta a ser implementada no computador é:
Onde os coeficientes , , e são determinados a partir da discretização do controlador contínuo usando a Transformada de Tustin ou outro método de discretização adequado.

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Deseja-se implementar esse controlador em um computador para aplicá-lo na plataforma. O controlador atuará em uma frequência de amostragem , mantendo a saída de controle constante entre cada amostra. Discretize o controlador do item anterior. Justifique a escolha do método de discretização.
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