Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada . Para tal, foi proposto um controlador que atua sobre o erro de rastreamento.
Deseja-se implementar esse controlador em um computador para aplicá-lo na plataforma. O controlador atuará em uma frequência de amostragem , mantendo a saída de controle constante entre cada amostra. Discretize o controlador do item anterior. Justifique a escolha do método de discretização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para discretizar um controlador contínuo, dado por , que controla a velocidade de rotação de um tubo. A ideia é transformar esse controlador contínuo em um controlador digital que funcione em um computador com uma frequência de amostragem de Hz. Para isso, precisamos escolher um método de discretização adequado e justificar essa escolha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa discretizar um controlador. Discretizar significa converter o controlador de tempo contínuo para tempo discreto, ou seja, ajustar o controlador para funcionar em intervalos de tempo específicos (a cada amostra), em vez de continuamente. Como o controlador vai operar a uma frequência de amostragem Hz, o intervalo entre amostras ( ) é:

Passo 3

Agora, precisamos escolher um método de discretização. Existem vários métodos, como o de aproximação por série de Taylor, a transformação bilinear (ou Tustin), e o método de retenção de zero (Zero-Order Hold, ZOH). No enunciado, foi mencionado que a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, o que indica que a retenção de zero é apropriada. Portanto, vamos usar o método de retenção de zero para discretizar o controlador.

Passo 4

Vamos aplicar o método de retenção de zero (ZOH) para discretizar nosso controlador . A retenção de zero considera que a entrada do sistema permanece constante durante cada intervalo de amostragem. A transformação de ZOH é realizada usando a seguinte fórmula:
Primeiro, substituímos :

Passo 5

Para simplificar, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação ZOH a cada termo separadamente. A transformação ZOH para cada termo é dada por:
Aplicando isso aos termos do nosso controlador:

Passo 7

Substituindo segundos:
Calculando os expoentes:
Então:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais para obter uma forma mais prática para implementação:
Isso resulta em um controlador digital que pode ser implementado no computador, mantendo a saída de controle constante entre as amostras, conforme solicitado.

Resposta

O controlador contínuo foi discretizado usando o método de retenção de zero (ZOH), resultando no controlador digital:
Esse método foi escolhido porque a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, alinhando-se perfeitamente com a abordagem de retenção de zero.

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Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada . Para tal, foi proposto um controlador que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine a lei de controle que será implementada no computador, onde é o erro entre as velocidades medida e desejada.
Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Caso essa planta seja controlada em uma estrutura clássica de controle, qual o método de discretização mais apropriado para discretizar a planta?
Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
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Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha o modelo discreto em espaço de estados através do método adequado.