Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada
. Para tal, foi proposto um controlador
que atua sobre o erro de rastreamento.
Deseja-se implementar esse controlador em um computador para aplicá-lo na plataforma. O controlador atuará em uma frequência de amostragem
, mantendo a saída de controle constante entre cada amostra. Discretize o controlador do item anterior. Justifique a escolha do método de discretização.
Deseja-se implementar esse controlador em um computador para aplicá-lo na plataforma. O controlador atuará em uma frequência de amostragem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para discretizar um controlador contínuo, dado por
, que controla a velocidade de rotação de um tubo. A ideia é transformar esse controlador contínuo em um controlador digital que funcione em um computador com uma frequência de amostragem de
Hz. Para isso, precisamos escolher um método de discretização adequado e justificar essa escolha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa discretizar um controlador. Discretizar significa converter o controlador de tempo contínuo para tempo discreto, ou seja, ajustar o controlador para funcionar em intervalos de tempo específicos (a cada amostra), em vez de continuamente. Como o controlador vai operar a uma frequência de amostragem
Hz, o intervalo entre amostras (
) é:
Passo 3
Agora, precisamos escolher um método de discretização. Existem vários métodos, como o de aproximação por série de Taylor, a transformação bilinear (ou Tustin), e o método de retenção de zero (Zero-Order Hold, ZOH). No enunciado, foi mencionado que a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, o que indica que a retenção de zero é apropriada. Portanto, vamos usar o método de retenção de zero para discretizar o controlador.
Passo 4
Vamos aplicar o método de retenção de zero (ZOH) para discretizar nosso controlador
. A retenção de zero considera que a entrada do sistema permanece constante durante cada intervalo de amostragem. A transformação de ZOH é realizada usando a seguinte fórmula:
Primeiro, substituímos
:
Passo 5
Para simplificar, vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformação ZOH a cada termo separadamente. A transformação ZOH para cada termo
é dada por:
Aplicando isso aos termos do nosso controlador:
Passo 7
Substituindo
segundos:
Calculando os expoentes:
Então:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais para obter uma forma mais prática para implementação:
Isso resulta em um controlador digital
que pode ser implementado no computador, mantendo a saída de controle constante entre as amostras, conforme solicitado.
Resposta
O controlador contínuo
foi discretizado usando o método de retenção de zero (ZOH), resultando no controlador digital:
Esse método foi escolhido porque a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, alinhando-se perfeitamente com a abordagem de retenção de zero.
Exercícios relacionados
Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada
. Para tal, foi proposto um controlador
que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine a lei de controle que será implementada no computador, onde
é o erro entre as velocidades medida e desejada.
Determine a lei de controle
Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Caso essa planta seja controlada em uma estrutura clássica de controle, qual o método de discretização mais apropriado para discretizar a planta?
Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
;
Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha o modelo discreto em espaço de estados através do método adequado.