Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada r. Para tal, foi proposto um controlador K(s)= 2 k(s+3)(s+4) que atua sobre o erro de rastreamento.
Deseja-se implementar esse controlador em um computador para aplicá-lo na plataforma. O controlador atuará em uma frequência de amostragem fs=100 Hz, mantendo a saída de controle constante entre cada amostra. Discretize o controlador do item anterior. Justifique a escolha do método de discretização.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para discretizar um controlador contínuo, dado por , que controla a velocidade de rotação de um tubo. A ideia é transformar esse controlador contínuo em um controlador digital que funcione em um computador com uma frequência de amostragem de Hz. Para isso, precisamos escolher um método de discretização adequado e justificar essa escolha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa discretizar um controlador. Discretizar significa converter o controlador de tempo contínuo para tempo discreto, ou seja, ajustar o controlador para funcionar em intervalos de tempo específicos (a cada amostra), em vez de continuamente. Como o controlador vai operar a uma frequência de amostragem Ts = 1fs = 1100 = 0,01 , segundos Hz, o intervalo entre amostras ( ) é:

Passo 3

Agora, precisamos escolher um método de discretização. Existem vários métodos, como o de aproximação por série de Taylor, a transformação bilinear (ou Tustin), e o método de retenção de zero (Zero-Order Hold, ZOH). No enunciado, foi mencionado que a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, o que indica que a retenção de zero é apropriada. Portanto, vamos usar o método de retenção de zero para discretizar o controlador.

Passo 4

Vamos aplicar o método de retenção de zero (ZOH) para discretizar nosso controlador K(z) = Z K(s) cdot 1 - e^-sTss . A retenção de zero considera que a entrada do sistema permanece constante durante cada intervalo de amostragem. A transformação de ZOH é realizada usando a seguinte fórmula:
K(z) = Z 2k(s+3)(s+4) cdot 1 - e^-sTss
Primeiro, substituímos :

Passo 5

Para simplificar, vamos decompor 2k(s+3)(s+4) = As+3 + Bs+4 em frações parciais:
2k = A(s+4) + B(s+3)
Multiplicando ambos os lados por 2k = A(-4+4) + B(-4+3) implies 2k = 0 + (-B) implies B = -2k :
2k = A(-3+4) + B(-3+3) implies 2k = A(1) + 0 implies A = 2k
Para encontrar A e B, escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para 2k(s+3)(s+4) = 2ks+3 - 2ks+4 :
  • Para :
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformação ZOH a cada termo separadamente. A transformação ZOH para cada termo Z 1s+a = 1 - e^-aTsz - e^-aTs é dada por:
K(z) = 2k cdot 1 - e^-3Tsz - e^-3Ts - 2k cdot 1 - e^-4Tsz - e^-4Ts
Aplicando isso aos termos do nosso controlador:

Passo 7

Substituindo K(z) = 2k cdot 1 - e^-0,03z - e^-0,03 - 2k cdot 1 - e^-0,04z - e^-0,04 segundos:
e^-0,03 approx 0,97045
Calculando os expoentes:
e^-0,04 approx 0,96079
K(z) = 2k cdot 1 - 0,97045z - 0,97045 - 2k cdot 1 - 0,96079z - 0,96079
Então:
K(z) = 2k cdot 0,02955z - 0,97045 - 2k cdot 0,03921z - 0,96079

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais para obter uma forma mais prática para implementação:
K(z) = 2k cdot 0,02955z - 0,97045 - 2k cdot 0,03921z - 0,96079
Isso resulta em um controlador digital que pode ser implementado no computador, mantendo a saída de controle constante entre as amostras, conforme solicitado.

Resposta

O controlador contínuo K(z) = 2k cdot 0,02955z - 0,97045 - 2k cdot 0,03921z - 0,96079 foi discretizado usando o método de retenção de zero (ZOH), resultando no controlador digital:
Esse método foi escolhido porque a saída de controle deve permanecer constante entre cada amostra, alinhando-se perfeitamente com a abordagem de retenção de zero.

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