Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
G1(s)=s+10.1 s+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para converter a função de transferência contínua para uma função discreta usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH (Zero-Order Hold). A frequência de amostragem dada é de 4 Hz, o que significa que o período de amostragem é 0,25 segundos. Para isso, vamos precisar entender cada um desses métodos e aplicar as fórmulas correspondentes para fazer a conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de transferência discreta. Enquanto a função contínua trabalha com a variável do domínio de Laplace, a função discreta trabalha com a variável do domínio Z. Converter de para permite implementar o sistema em sistemas digitais.

Passo 3

Vamos começar com o método de Euler direto. Esse método aproxima a derivada no domínio contínuo usando uma diferença para frente no discreto. A substituição típica é:
s approx z - 1Tz
Onde é o período de amostragem, que no nosso caso é 0,25 segundos.

Passo 4

Substituindo G1(z) = z - 1Tz + 10.1 cdot z - 1Tz + 1 na função com a aproximação de Euler direto:
Vamos simplificar isso para obter a função de transferência discreta.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para o método de Euler reverso. Esse método usa uma diferença para trás para aproximar a derivada:
s approx z - 1T(z)
Substituímos novamente na função e simplificamos para obter no domínio discreto.

Passo 6

O próximo método é o método de Tustin ou bilinear. Esse método faz uma substituição que mapeia o eixo s approx 2T cdot z - 1z + 1 para o eixo de forma mais precisa, evitando distorções de frequência:
Substituímos na função original e simplificamos para encontrar a versão discreta.

Passo 7

Por fim, vamos usar o método ZOH (Zero-Order Hold). Este método considera que a entrada mantêm-se constante durante cada intervalo de amostragem. A conversão envolve calcular a transformação Z a partir da transformação Laplace com o hold implementado. A fórmula geral é:
G1(z) = Z L^-1 G1(s) cdot 1 - e^-sTs
Isso geralmente requer integrar a função contínua entre 0 e e depois aplicar a transformação Z.

Resposta

Após aplicar os quatro métodos, as funções de transferência discretas são:
  1. Euler Direto:
G1(z) = (z - 1) + 0,25z0,025(z - 1) + z = 1,25z - 10,025z - 0,025 + z = 1,25z - 11,025z - 0,025
  1. Euler Reverso:
G1(z) = (z - 1) + 0,25z0,025(z - 1) + z = 1,25z - 11,025z - 0,025
  1. Tustin:
G1(z) = 20,25(z - 1) + 1(z + 1)0,1 cdot 20,25(z - 1) + 1(z + 1) = 8(z - 1) + (z + 1)0,8(z - 1) + (z + 1) = 9z - 71,8z + 0,2
  1. ZOH:
G1(z) = e^-0,25s(s + 1)0,1s + 1 Após cálculo, a função discreta fica: óáçã
G1(z) = 1,25z - 11,25z - 0,25

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