Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para converter a função de transferência contínua
para uma função discreta usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH (Zero-Order Hold). A frequência de amostragem dada é de 4 Hz, o que significa que o período de amostragem
é 0,25 segundos. Para isso, vamos precisar entender cada um desses métodos e aplicar as fórmulas correspondentes para fazer a conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de transferência discreta. Enquanto a função contínua trabalha com a variável
do domínio de Laplace, a função discreta trabalha com a variável
do domínio Z. Converter de
para
permite implementar o sistema em sistemas digitais.
Passo 3
Vamos começar com o método de Euler direto. Esse método aproxima a derivada no domínio contínuo usando uma diferença para frente no discreto. A substituição típica é:
Onde
é o período de amostragem, que no nosso caso é 0,25 segundos.
Passo 4
Substituindo
na função
com a aproximação de Euler direto:
Vamos simplificar isso para obter a função de transferência discreta.
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para o método de Euler reverso. Esse método usa uma diferença para trás para aproximar a derivada:
Substituímos novamente na função
e simplificamos para obter
no domínio discreto.
Passo 6
O próximo método é o método de Tustin ou bilinear. Esse método faz uma substituição que mapeia o eixo
para o eixo
de forma mais precisa, evitando distorções de frequência:
Substituímos na função original e simplificamos para encontrar a versão discreta.
Passo 7
Por fim, vamos usar o método ZOH (Zero-Order Hold). Este método considera que a entrada mantêm-se constante durante cada intervalo de amostragem. A conversão envolve calcular a transformação Z a partir da transformação Laplace com o hold implementado. A fórmula geral é:
Isso geralmente requer integrar a função contínua entre 0 e
e depois aplicar a transformação Z.
Resposta
Após aplicar os quatro métodos, as funções de transferência discretas são:
- Euler Direto:
- Euler Reverso:
- Tustin:
- ZOH: