Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha o modelo discreto em espaço de estados através do método adequado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de transferência que relaciona a entrada com a saída da planta:
Nosso objetivo aqui é transformar esse modelo contínuo em um modelo discreto no espaço de estados. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de transferência, espaço de estados e técnicas de discretização, como a transformação de ZOH (Zero-Order Hold).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de transferência para facilitar os cálculos. A função dada é:
Vamos reescrever o denominador:
Então, a função de transferência fica:

Passo 3

Agora, para passar para o espaço de estados, precisamos expressar essa função de transferência em termos de equações diferenciais de primeira ordem. Isso envolve definir estados que representem as variáveis internas do sistema.
Vamos assumir que temos três estados já que o denominador é um polinômio de terceira ordem. As equações no espaço de estados serão:
E a saída será:

Passo 4

Com o modelo contínuo no espaço de estados pronto, o próximo passo é discretizá-lo. Para isso, vamos usar a transformação de Zero-Order Hold (ZOH), que é uma técnica comum para converter sistemas contínuos em discretos.
Primeiro, precisamos definir um período de amostragem . Vamos assumir que segundos para este exemplo.
A matriz do sistema contínuo , a matriz de entrada , a matriz de saída e a matriz de transmissão são:

Passo 5

Aplicando a transformação ZOH, as matrizes discretizadas são calculadas usando:
Este cálculo pode ser feito utilizando ferramentas de software como MATLAB ou Python. Por exemplo, no MATLAB, você usaria a função c2d:
Ts = 0.1; % Período de amostragem
sys_continuo = ss(A, B, C, D);
sys_discreto = c2d(sys_continuo, Ts, 'zoh');
A_d = sys_discreto.A;
B_d = sys_discreto.B;
C_d = sys_discreto.C;
D_d = sys_discreto.D;

Resposta

Após realizar a discretização usando o método ZOH com um período de amostragem de segundos, o modelo discreto no espaço de estados é dado por:
onde as matrizes são obtidas a partir da transformação ZOH aplicada ao sistema contínuo original.

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