Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada r. Para tal, foi proposto um controlador K(s)= 2 k(s+3)(s+4) que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine, se existir, o intervalos de valores de k para que o sistema controlado seja estável;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre controlar a velocidade de rotação de um tubo usando um controlador específico. O objetivo é fazer com que a velocidade acompanhe uma referência desejada, chamada de r. Para isso, foi proposto um controlador da forma K(s) = 2k(s+3)(s+4). O que precisamos descobrir é quais valores de k fazem com que o sistema fique estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas e o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se um sistema é estável analisando sua equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é estabilidade em um sistema de controle. Basicamente, um sistema é estável se, após uma perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio sem oscilações infinitas ou crescimento descontrolado. Para verificar isso, precisamos encontrar a função de transferência em malha fechada do sistema e analisar sua equação característica.
A função de transferência em malha fechada T(s) é dada por:
T(s) = K(s)G(s)1 + K(s)G(s)
Onde:
  • K(s) é o controlador.
  • G(s) é a função de transferência do sistema sem o controlador.
No nosso caso, como estamos controlando a velocidade de rotação sem a esfera, vamos assumir que G(s) já está incorporada na expressão do controlador ou que é igual a 1 para simplificação. Assim, nossa equação característica será:
1 + K(s)G(s) = 0
Substituindo K(s):
1 + 2k(s+3)(s+4) = 0
Vamos multiplicar os dois lados por (s+3)(s+4) para eliminar o denominador:
(s+3)(s+4) + 2k = 0
Agora, vamos expandir essa expressão para obter a equação característica em termos de s.

Passo 3

Vamos expandir (s+3)(s+4):
(s+3)(s+4) = s^2 + 7s + 12
Substituindo de volta na equação:
s^2 + 7s + 12 + 2k = 0
Organizando os termos:
s^2 + 7s + (12 + 2k) = 0
Essa é nossa equação característica:
s^2 + 7s + (12 + 2k) = 0
Para verificar a estabilidade, vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se todos os pólos da equação característica têm parte real negativa (condição para estabilidade).

Passo 4

O critério de Routh-Hurwitz analisa os coeficientes da equação característica para determinar a estabilidade sem precisar calcular as raízes diretamente. No nosso caso, a equação é de segundo grau, então a aplicação do critério é simples.
Para uma equação de segundo grau:
a2 s^2 + a1 s + a0 = 0
O sistema é estável se todos os coeficientes a2, a1 e a0 forem positivos e se a1 > 0 e a0 > 0.
Comparando com nossa equação:
a2 = 1 a1 = 7 a0 = 12 + 2k
Sabemos que a2 = 1 > 0 e a1 = 7 > 0. Agora, devemos garantir que a0 = 12 + 2k > 0.
Vamos resolver a inequação:
12 + 2k > 0 2k > -12 k > -6
Portanto, para que o sistema seja estável, o valor de k deve ser maior que -6.

Resposta

O sistema controlado é estável para todos os valores de k tais que:
k > -6

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