Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada . Para tal, foi proposto um controlador que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine, se existir, o intervalos de valores de para que o sistema controlado seja estável;

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado fala sobre controlar a velocidade de rotação de um tubo usando um controlador específico. O objetivo é fazer com que a velocidade acompanhe uma referência desejada, chamada de . Para isso, foi proposto um controlador da forma . O que precisamos descobrir é quais valores de fazem com que o sistema fique estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas e o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se um sistema é estável analisando sua equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é estabilidade em um sistema de controle. Basicamente, um sistema é estável se, após uma perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio sem oscilações infinitas ou crescimento descontrolado. Para verificar isso, precisamos encontrar a função de transferência em malha fechada do sistema e analisar sua equação característica.
A função de transferência em malha fechada é dada por:
Onde:
  • é o controlador.
  • é a função de transferência do sistema sem o controlador.
No nosso caso, como estamos controlando a velocidade de rotação sem a esfera, vamos assumir que já está incorporada na expressão do controlador ou que é igual a 1 para simplificação. Assim, nossa equação característica será:
Substituindo :
Vamos multiplicar os dois lados por para eliminar o denominador:
Agora, vamos expandir essa expressão para obter a equação característica em termos de .

Passo 3

Vamos expandir :
Substituindo de volta na equação:
Organizando os termos:
Essa é nossa equação característica:
Para verificar a estabilidade, vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se todos os pólos da equação característica têm parte real negativa (condição para estabilidade).

Passo 4

O critério de Routh-Hurwitz analisa os coeficientes da equação característica para determinar a estabilidade sem precisar calcular as raízes diretamente. No nosso caso, a equação é de segundo grau, então a aplicação do critério é simples.
Para uma equação de segundo grau:
O sistema é estável se todos os coeficientes , e forem positivos e se e .
Comparando com nossa equação:
Sabemos que e . Agora, devemos garantir que .
Vamos resolver a inequação:
Portanto, para que o sistema seja estável, o valor de deve ser maior que .

Resposta

O sistema controlado é estável para todos os valores de tais que:

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