Deseja-se controlar a velocidade de rotação do tubo da questão anterior sem a esfera. O objetivo é rastrear uma velocidade desejada
. Para tal, foi proposto um controlador
que atua sobre o erro de rastreamento.
Determine, se existir, o intervalos de valores de
para que o sistema controlado seja estável;
Determine, se existir, o intervalos de valores de
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado fala sobre controlar a velocidade de rotação de um tubo usando um controlador específico. O objetivo é fazer com que a velocidade acompanhe uma referência desejada, chamada de
. Para isso, foi proposto um controlador da forma
. O que precisamos descobrir é quais valores de
fazem com que o sistema fique estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas e o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se um sistema é estável analisando sua equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é estabilidade em um sistema de controle. Basicamente, um sistema é estável se, após uma perturbação, ele retorna ao seu estado de equilíbrio sem oscilações infinitas ou crescimento descontrolado. Para verificar isso, precisamos encontrar a função de transferência em malha fechada do sistema e analisar sua equação característica.
A função de transferência em malha fechada
é dada por:
Onde:
-
é o controlador. -
é a função de transferência do sistema sem o controlador.
No nosso caso, como estamos controlando a velocidade de rotação sem a esfera, vamos assumir que
já está incorporada na expressão do controlador ou que é igual a 1 para simplificação. Assim, nossa equação característica será:
Substituindo
:
Vamos multiplicar os dois lados por
para eliminar o denominador:
Agora, vamos expandir essa expressão para obter a equação característica em termos de
.
Passo 3
Vamos expandir
:
Substituindo de volta na equação:
Organizando os termos:
Essa é nossa equação característica:
Para verificar a estabilidade, vamos aplicar o critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se todos os pólos da equação característica têm parte real negativa (condição para estabilidade).
Passo 4
O critério de Routh-Hurwitz analisa os coeficientes da equação característica para determinar a estabilidade sem precisar calcular as raízes diretamente. No nosso caso, a equação é de segundo grau, então a aplicação do critério é simples.
Para uma equação de segundo grau:
O sistema é estável se todos os coeficientes
,
e
forem positivos e se
e
.
Comparando com nossa equação:
Sabemos que
e
. Agora, devemos garantir que
.
Vamos resolver a inequação:
Portanto, para que o sistema seja estável, o valor de
deve ser maior que
.
Resposta
O sistema controlado é estável para todos os valores de
tais que:
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