Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha a resposta
da planta discreta para uma condição inicial
com entrada nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que fala sobre uma função de transferência de uma planta, que é uma forma de descrever como o sistema responde a uma entrada. A função dada é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a resposta
da planta discreta quando a entrada
é nula (ou seja, não há entrada) e existe uma condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de controle, transformadas de Laplace e como passar de sistemas contínuos para discretos.
Passo 2
Primeiro, como a entrada está nula, estamos lidando com a resposta ao zero da planta, que depende apenas da condição inicial
. Nesse caso, a saída é influenciada pelas características naturais do sistema.
Passo 3
Para encontrar a resposta ao zero, precisamos considerar a função de transferência da planta e identificar os polos do sistema, que são os valores de
que tornam o denominador igual a zero. Esses polos determinam como o sistema vai responder ao longo do tempo.
Nossa função de transferência é:
Os polos são as raízes do denominador:
Então, temos:
-
-
e
Passo 4
Agora, vamos expressar a função de transferência em termos dos polos identificados:
Isso nos mostra que o sistema tem três polos:
,
, e
.
Passo 5
Como estamos lidando com um sistema discreto, precisamos converter essa função de transferência contínua para uma função de transferência discreta. Para isso, podemos usar o método de amostragem ou transformada Z. Mas, para simplificar, vamos focar em encontrar a resposta no domínio contínuo e depois considerar a discretização.
Passo 6
A resposta ao zero do sistema no domínio contínuo é dada pela resposta natural, que é a solução da equação diferencial homogênea associada à função de transferência. Isso envolve aplicar a transformada inversa de Laplace à função de transferência multiplicada pela condição inicial.
No caso de entrada nula, a resposta natural é:
Passo 7
Vamos assumir que a condição inicial
afeta diretamente a saída. Então, a resposta no domínio contínuo será a combinação das respostas associadas a cada polo do sistema:
Onde
,
, e
são constantes que determinam a contribuição de cada polo, baseadas na condição inicial.
Passo 8
Para passar do domínio contínuo para o discreto, usamos a transformada Z. Considerando um intervalo de amostragem
, a transformação fica:
Aplicando isso aos termos de
, obtemos a resposta discreta
.
Passo 9
A resposta discreta será uma combinação de termos exponenciais discretos:
Onde
,
, e
, e
é o índice de tempo discreto.
Passo 10
Finalmente, determinamos as constantes
,
, e
usando a condição inicial
. Supondo que
, substituímos
na equação acima:
Além disso, podemos derivar condições adicionais a partir das derivadas de
para resolver
,
, e
.
Resposta
A resposta discreta da planta com condição inicial
e entrada nula é:
Onde:
As constantes
,
e
são determinadas pela condição inicial
.
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