Seja uma planta cuja função de transferência entre a entrada e a saída é dada por:
Obtenha a resposta da planta discreta para uma condição inicial com entrada nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício que fala sobre uma função de transferência de uma planta, que é uma forma de descrever como o sistema responde a uma entrada. A função dada é:
O que a gente precisa fazer é encontrar a resposta da planta discreta quando a entrada é nula (ou seja, não há entrada) e existe uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de controle, transformadas de Laplace e como passar de sistemas contínuos para discretos.

Passo 2

Primeiro, como a entrada está nula, estamos lidando com a resposta ao zero da planta, que depende apenas da condição inicial . Nesse caso, a saída é influenciada pelas características naturais do sistema.

Passo 3

Para encontrar a resposta ao zero, precisamos considerar a função de transferência da planta e identificar os polos do sistema, que são os valores de que tornam o denominador igual a zero. Esses polos determinam como o sistema vai responder ao longo do tempo.
Nossa função de transferência é:
Os polos são as raízes do denominador:
Então, temos:
  1. e

Passo 4

Agora, vamos expressar a função de transferência em termos dos polos identificados:
Isso nos mostra que o sistema tem três polos: , , e .

Passo 5

Como estamos lidando com um sistema discreto, precisamos converter essa função de transferência contínua para uma função de transferência discreta. Para isso, podemos usar o método de amostragem ou transformada Z. Mas, para simplificar, vamos focar em encontrar a resposta no domínio contínuo e depois considerar a discretização.

Passo 6

A resposta ao zero do sistema no domínio contínuo é dada pela resposta natural, que é a solução da equação diferencial homogênea associada à função de transferência. Isso envolve aplicar a transformada inversa de Laplace à função de transferência multiplicada pela condição inicial.
No caso de entrada nula, a resposta natural é:

Passo 7

Vamos assumir que a condição inicial afeta diretamente a saída. Então, a resposta no domínio contínuo será a combinação das respostas associadas a cada polo do sistema:
Onde , , e são constantes que determinam a contribuição de cada polo, baseadas na condição inicial.

Passo 8

Para passar do domínio contínuo para o discreto, usamos a transformada Z. Considerando um intervalo de amostragem , a transformação fica:
Aplicando isso aos termos de , obtemos a resposta discreta .

Passo 9

A resposta discreta será uma combinação de termos exponenciais discretos:
Onde , , e , e é o índice de tempo discreto.

Passo 10

Finalmente, determinamos as constantes , , e usando a condição inicial . Supondo que , substituímos na equação acima:
Além disso, podemos derivar condições adicionais a partir das derivadas de para resolver , , e .

Resposta

A resposta discreta da planta com condição inicial e entrada nula é:
Onde:
As constantes , e são determinadas pela condição inicial .

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