Deseja-se projetar uma cápsula esférica para liberação controlada com o tempo de uma medicação. Uma vez tomada a liberação começa a ocorrer somente no intestino e controlada pela difusão do medicamento na cápsula esférica. A concentração inicial, é uniforme na capsula e o fluido ao redor da capsula como um sumidouro (retirada constante), ou . A difusão é unidimensional e seu perfil se estabelece somente em função do raio, . Uma dose total conservativa da droga liberada no corpo é de 10 mg , onde da droga deve ser liberada em 3 h. Determine o tamanho da cápsula e a concentração inicial para atingir tal dose. O coeficiente de difusão da droga, espécie A , no gel que compõe cápsula, espécie . A solubilidade limite da droga no gel é de e a solubilidade da medicação no meio externo é de . O modelo deve predizer: quantidade da droga liberada em função do tempo, diâmetro da cápsula, concentração inicial na cápsula e do coeficiente de difusão da droga na cápsula. O sistema possui geometria esférica.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Então, vamos por partes! A gente quer projetar uma cápsula esférica que libere uma medicação de forma controlada no intestino. A liberação da droga vai ser controlada pela difusão dentro da cápsula. Aqui estão os principais pontos que precisamos considerar:
  • Concentração Inicial ( ): A concentração da droga é uniforme dentro da cápsula no começo.
  • Concentração no Ambiente Externo ( ): Consideramos que o ambiente ao redor da cápsula atua como um sumidouro, ou seja, a concentração externa é zero.
  • Difusão Unidimensional em : A difusão depende apenas da distância radial a partir do centro da cápsula.
  • Dose Total: Precisamos liberar 10 mg de droga, com 50% liberado em 3 horas.
  • Parâmetros Físicos:
    • Coeficiente de difusão ( ) = cm²/s
    • Solubilidade limite no gel ( ) = mg/cm³
    • Solubilidade no meio externo ( ) = mg/cm³
Vamos precisar usar a Lei de Fick de Difusão para resolver esse problema, especificamente considerando uma geometria esférica.

Passo 2

Entendendo a Lei de Fick para Geometria Esférica
A Lei de Fick descreve como a concentração de uma substância se espalha ao longo do tempo. No nosso caso, como a cápsula é esférica e a difusão ocorre apenas radialmente, usamos a forma da lei em coordenadas esféricas.
A equação de difusão unidimensional em coordenadas esféricas, considerando simetria radial, é dada por:
Onde:
  • é a concentração da droga dentro da cápsula.
  • é o coeficiente de difusão.
  • é a distância radial do centro da cápsula.
  • é o tempo.

Passo 3

Aplicando Condições Iniciais e de Contorno
Para resolver a equação, precisamos definir as condições iniciais e de contorno:
  • Condição Inicial: A concentração é uniforme no interior da cápsula no tempo :
    Onde é o raio da cápsula.
  • Condição de Contorno na Superfície ( ): A concentração no ambiente externo é zero:
  • Condição de Simetria no Centro ( ): Não há fluxo de droga no centro da cápsula:

Passo 4

Determinação da Quantidade de Droga Liberada em Função do Tempo
Queremos encontrar a quantidade de droga liberada até o tempo . A quantidade liberada, , é dada pela integral do fluxo na superfície da cápsula ao longo do tempo:
Para uma solução simplificada, podemos usar a aproximação de pico travessia, onde assumimos que a soltura é controlada principalmente pela difusão superficial. Nesse caso, a quantidade liberada pode ser estimada por:
áçãã
Mas para precisão, realmente precisaríamos resolver a equação de difusão, o que é complexo. Para simplificar, vamos usar a solução aproximada para a quantidade liberada em uma esfera:
Onde é a função erro.

Passo 5

Aplicando as Condições de Dose
Sabemos que:
  • Dose Total ( ): 10 mg
  • Dose Liberada em 3 horas ( ): 5 mg (50% de 10 mg)
Vamos converter 3 horas para segundos:
Aplicando na equação de :

Passo 6

Determinação do Raio da Cápsula ( ) e da Concentração Inicial ( )
Temos duas incógnitas: e . Além da equação acima, podemos usar as informações de solubilidade para limitar as possibilidades.
  • Solubilidade no Gel:
  • Solubilidade no Meio Externo: Já consideramos , então não precisamos restrição adicional aqui.
Assumindo que usamos a máxima solubilidade no gel para maximizar a liberação:
Substituindo na equação de dose:
Vamos simplificar a expressão dentro da função erro:
Assumindo que para pequeno, tende a 1, então:
Mas isso nos leva a uma inconsistência, indicando que nossa aproximação está simplificando demais. Então, para uma solução mais precisa, podemos usar a condição de que 50% da droga é liberada, implicando que deve ser escolhido de forma que:
Resolvendo numericamente essa equação para , encontramos:
Então, o diâmetro será:

Resposta

Para atingir a dose desejada de 10 mg com 50% liberada em 3 horas, a cápsula deve ter um diâmetro de aproximadamente 1 mm e uma concentração inicial de 100 mg/cm³.

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