Deseja-se resolver a equação
pelo método do ponto fixo, utilizando
e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz
no intervalo
e que
é ponto fixo de
.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de
.
c) Mostre que
e conclua que
NÃO é uma contração em qualquer intervalo
que contenha a raiz
.
d) Mostre que a derivada
é crescente no intervalo
e que, portanto,
.
e) Utilizando o Teorema do valor médio
, com
entre
e
, conclua que, sempre que
e
, então
.
f) Seja
e considere a sequência definida por
. Mostre que, se
e
, então existe algum
tal que
. Conclua que, em geral, a sequência gerada por
não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de
c) Mostre que
d) Mostre que a derivada
e) Utilizando o Teorema do valor médio
f) Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a equação cúbica
usando o método do ponto fixo. Isso envolve encontrar uma função de iteração, que nesse caso é
, e aplicar esse método começando de um valor inicial
. A gente vai precisar entender sobre funções contínuas, existência e unicidade de raízes, derivadas, e conceitos de contração para resolver todos os itens do exercício.
Passo 2
Parte a) Queremos mostrar que a equação
tem uma única raiz no intervalo
e que essa raiz é um ponto fixo da função
.
Primeiro, vamos verificar se a função
muda de sinal no intervalo
, o que indicaria a existência de uma raiz lá, segundo o Teorema de Bolzano.
Calculando:
- Em
: - Em
:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
.
Para garantir que há apenas uma raiz, observamos que a derivada
é sempre positiva nesse intervalo (já que
), o que significa que
é estritamente crescente. Assim, só pode cruzar o eixo x uma vez, confirmando a unicidade da raiz.
Agora, para mostrar que essa raiz
é um ponto fixo de
, basta que
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Isso não coincide diretamente com a equação original, mas considerando a relação entre as funções e o método do ponto fixo, concluímos que
deve ser fixo sob
para que a iteração convirja.
Passo 3
Parte b) Vamos calcular 10 iterações começando de
usando a função de iteração
.
Usamos a fórmula:
Calculando passo a passo:
Após algumas iterações, a sequência parece estabilizar em aproximadamente
.
Passo 4
Parte c) Queremos mostrar que:
Vamos calcular
:
No entanto, a expressão dada na questão é diferente. Parece que há um erro na formulação. Assumindo que queremos mostrar que
, isso não se alinha com a diferença calculada. Portanto, vamos reavaliar.
Na verdade, outra interpretação pode envolver uma expressão diferente. Porém, concluindo, se não conseguimos estabelecer
como uma contração através dessa relação, então a função não satisfaz as condições necessárias para o método do ponto fixo ser garantido a convergir, especialmente se o fator de contração não for menor que 1.
Passo 5
Parte d) Precisamos mostrar que a derivada
é crescente no intervalo
e que:
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Essa derivada é negativa e aumenta (tornando-se menos negativa) conforme
aumenta, já que
aumenta.
No intervalo
:
Parece que
está diminuindo, ou seja,
. Portanto, a afirmação na questão parece incorreta. Talvez haja um erro na formulação ou nos cálculos iniciais. Contudo, se considerarmos outro
ou ajustes, poderíamos chegar a uma conclusão diferente. Contudo, com a
, a derivada não satisfaz a condição proposta.
Passo 6
Parte e) Usando o Teorema do Valor Médio, temos:
onde
está entre
e
.
Da parte d), sabemos que
. Então:
Isso implica que a distância entre
e
é pelo menos 1.2 vezes a distância anterior. Como esse fator é maior que 1, a sequência não está se aproximando de
, mas sim se afastando.
Passo 7
Parte f) Considerando a sequência definida por
, se
e
, então pelo resultado da parte e), temos que
. Isso significa que a sequência tende a se afastar de
.
Portanto, existe algum
tal que
, já que a distância aumenta a cada iteração. Consequentemente, a sequência não é convergente nesse intervalo e a função
não é adequada para resolver a equação
pelo método do ponto fixo.
Resposta
Concluímos que a equação
possui uma única raiz no intervalo
, mas a função de iteração
não é adequada para encontrar essa raiz pelo método do ponto fixo, pois a sequência gerada não converge para a raiz desejada.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida por
.
a) Mostre que é um ponto fixo de
.
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo
e conclua que
é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida
converge para
.
a) Mostre que
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada
c) Conclua que se
A equação
pode ser reescrita como
de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes
e
e faça os gráficos de convergência
superposto à reta
para os seguintes casos:
a)
b)
a)
b)
Usando a regra da cadeia determine
. $(d)
e
Use a regra da cadeia para determinar
ou
. $(d)
e