Deseja-se saber informações sobre um conjunto de itens em um estoque. Para isso, para dois itens colineares foram definidas as seguintes posições:
ITEM A: (2,1,4);
ITEM B: (5,1,6);
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Sobre outros itens do mesmo estoque afirma-se:
I) P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
II) P (11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.
III) P (3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B.
IV) P (3,5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Das afirmações acima, estão corretas:
ITEM A: (2,1,4);
ITEM B: (5,1,6);
Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Sobre outros itens do mesmo estoque afirma-se:
I) P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
II) P (11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.
III) P (3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B.
IV) P (3,5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Das afirmações acima, estão corretas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre itens em um estoque, onde dois itens (A e B) têm posições definidas no espaço. O conteúdo aqui é sobre colinearidade na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa pontos serem colineares (isto é, estarem na mesma linha reta) e como verificar isso usando coordenadas.
Passo 2
Afirmação I: P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
Primeiro, vamos verificar se o ponto P(8,1,8) está na mesma linha reta que os pontos A(2,1,4) e B(5,1,6). Para isso, vamos calcular se os vetores AB e AP são escalares.
Vetores:
- AB = B - A = (5-2, 1-1, 6-4) = (3, 0, 2)
- AP = P - A = (8-2, 1-1, 8-4) = (6, 0, 4)
Agora, vamos ver se AP é múltiplo de AB:
- 6/3 = 2
- 0/0 → Indeterminado, mas como as outras coordenadas são proporcionais, consideramos colinear.
Conclusão: A afirmação I está correta.
Passo 3
Afirmação II: P (11, 3, 10) corresponde a um item colinear a A e B.
Vamos fazer a mesma verificação:
Vetores:
- AB = (3, 0, 2) como antes
- AP = (11-2, 3-1, 10-4) = (9, 2, 6)
Vamos ver se AP é múltiplo de AB:
- 9/3 = 3
- 2/0 → Não definido
- 6/2 = 3
Como uma das razões não é definida (divisão por zero) e os outros não se ajustam, P(11,3,10) não está na mesma linha que A e B.
Conclusão: A afirmação II está incorreta.
Passo 4
Afirmação III: P (3, 3, 3) está mais próximo do item A do que do item B.
Para descobrir qual item está mais próximo de P, vamos calcular a distância entre P e A, e entre P e B usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Distância entre P e A:
Distância entre P e B:
Como 2,45 < 4,12, P está mais perto de A do que de B.
Conclusão: A afirmação III está correta.
Passo 5
Afirmação IV: P (3, 5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Primeiro, vamos notar que o ponto P está com quatro coordenadas, o que não faz sentido no espaço tridimensional onde A e B estão. Parece que há um erro no enunciado. Vamos assumir que o ponto correto é P(3,5,1.5).
Para estar exatamente no meio, P deve ser o ponto médio entre A e B.
Ponto médio M entre A e B:
Então, M(3,5,5).
Comparando com o P assumido (3,5,1.5), vemos que z ≠ 5. Portanto, P não está no meio.
Conclusão: A afirmação IV está incorreta.
Resposta
As afirmações I e III estão corretas.