Deseja-se saber informações sobre um conjunto de itens em um estoque. Para isso, para dois itens colineares foram definidas as seguintes posições:
ITEM A: (2,1,4);
ITEM B: (5,1,6);
Texto elaborado pelo Professor, 2018.​
Sobre outros itens do mesmo estoque afirma-se:
I) P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
II) P (11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.
III) P (3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B.
IV) P (3,5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Das afirmações acima, estão corretas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre itens em um estoque, onde dois itens (A e B) têm posições definidas no espaço. O conteúdo aqui é sobre colinearidade na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa pontos serem colineares (isto é, estarem na mesma linha reta) e como verificar isso usando coordenadas.

Passo 2

Afirmação I: P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.
Primeiro, vamos verificar se o ponto P(8,1,8) está na mesma linha reta que os pontos A(2,1,4) e B(5,1,6). Para isso, vamos calcular se os vetores AB e AP são escalares.
Vetores:
  • AB = B - A = (5-2, 1-1, 6-4) = (3, 0, 2)
  • AP = P - A = (8-2, 1-1, 8-4) = (6, 0, 4)
Agora, vamos ver se AP é múltiplo de AB:
  • 6/3 = 2
  • 0/0 → Indeterminado, mas como as outras coordenadas são proporcionais, consideramos colinear.
Conclusão: A afirmação I está correta.

Passo 3

Afirmação II: P (11, 3, 10) corresponde a um item colinear a A e B.
Vamos fazer a mesma verificação:
Vetores:
  • AB = (3, 0, 2) como antes
  • AP = (11-2, 3-1, 10-4) = (9, 2, 6)
Vamos ver se AP é múltiplo de AB:
  • 9/3 = 3
  • 2/0 → Não definido
  • 6/2 = 3
Como uma das razões não é definida (divisão por zero) e os outros não se ajustam, P(11,3,10) não está na mesma linha que A e B.
Conclusão: A afirmação II está incorreta.

Passo 4

Afirmação III: P (3, 3, 3) está mais próximo do item A do que do item B.
Para descobrir qual item está mais próximo de P, vamos calcular a distância entre P e A, e entre P e B usando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Distância entre P e A:
dPA = raiz(3-2)^2 + (3-1)^2 + (3-4)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,45
Distância entre P e B:
dPB = raiz(3-5)^2 + (3-1)^2 + (3-6)^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17 approx 4,12
Como 2,45 < 4,12, P está mais perto de A do que de B.
Conclusão: A afirmação III está correta.

Passo 5

Afirmação IV: P (3, 5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.
Primeiro, vamos notar que o ponto P está com quatro coordenadas, o que não faz sentido no espaço tridimensional onde A e B estão. Parece que há um erro no enunciado. Vamos assumir que o ponto correto é P(3,5,1.5).
Para estar exatamente no meio, P deve ser o ponto médio entre A e B.
Ponto médio M entre A e B:
Mx = 2 + 52 = 3,5
My = 1 + 12 = 1
Mz = 4 + 62 = 5
Então, M(3,5,5).
Comparando com o P assumido (3,5,1.5), vemos que z ≠ 5. Portanto, P não está no meio.
Conclusão: A afirmação IV está incorreta.

Resposta

As afirmações I e III estão corretas.

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