A noite, um homem de 1,60 m de altura está de pé, parado a 2,5 m de distância de um poste que tem uma lâmpada acesa no alto. A sombra do homem projetada no chão tem 1 m de comprimento. A) qual é a distância da lâmpada ao chão?
B) se a distância do homem ao poste se tornar duas vezes maior, o que ocorrerá com o comprimento da sua sombra?
B) se a distância do homem ao poste se tornar duas vezes maior, o que ocorrerá com o comprimento da sua sombra?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um homem de 1,60 m de altura que está a 2,5 m de distância de um poste com uma lâmpada acesa no alto. A sombra do homem no chão tem 1 m de comprimento. Precisamos resolver duas coisas:
A) Descobrir a altura da lâmpada até o chão.
B) Verificar o que acontece com o comprimento da sombra se a distância do homem ao poste dobrar.
B) Verificar o que acontece com o comprimento da sombra se a distância do homem ao poste dobrar.
Para resolver isso, vamos usar triângulos semelhantes, um conceito de geometria que nos ajuda a comparar triângulos que têm os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a lâmpada no topo do poste ilumina o homem, projetando sua sombra no chão. Isso forma dois triângulos:
- Triângulo formado pela lâmpada, o topo da cabeça do homem e a ponta da sombra.
- Triângulo formado pelo topo da cabeça do homem, os pés do homem e a ponta da sombra.
Esses dois triângulos são semelhantes porque eles têm os mesmos ângulos (ângulos correspondentes iguais) e, portanto, seus lados são proporcionais.
Passo 3
Vamos identificar as medidas conhecidas:
- Altura do homem (h₁) = 1,60 m
- Distância do homem ao poste (d) = 2,5 m
- Comprimento da sombra do homem (s) = 1 m
Queremos encontrar a altura da lâmpada (H).
Passo 4
Como os triângulos são semelhantes, as proporções dos lados correspondentes são iguais. Então, podemos escrever a seguinte proporção:
Onde:
- $ H $ é a altura da lâmpada.
- $ d + s $ é a distância total do poste até a ponta da sombra.
- $ h₁ $ é a altura do homem.
- $ s $ é o comprimento da sombra.
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ H $:
Passo 7
Resposta parte A: A distância da lâmpada ao chão é de 5,6 metros.
Passo 8
Agora, vamos para a parte B: O que acontece com o comprimento da sombra se a distância do homem ao poste dobrar?
Inicialmente, a distância do homem ao poste é de 2,5 m. Se dobrar, passa a ser:
Passo 9
Mantendo a mesma altura da lâmpada (H = 5,6 m) e a altura do homem (h₁ = 1,60 m), usamos novamente a proporção dos triângulos semelhantes:
Passo 10
Resolvendo a equação para $ s_{novo} $:
Passo 11
Resposta parte B: Se a distância do homem ao poste dobrar, o comprimento da sombra também dobra, passando de 1 metro para 2 metros.
Resposta
A) A distância da lâmpada ao chão é de 5,6 metros.
B) Se a distância do homem ao poste dobrar, o comprimento da sombra também dobra, passando de 1 metro para 2 metros.
B) Se a distância do homem ao poste dobrar, o comprimento da sombra também dobra, passando de 1 metro para 2 metros.