A noite, um homem de 1,60 m de altura está de pé, parado a 2,5 m de distância de um poste que tem uma lâmpada acesa no alto. A sombra do homem projetada no chão tem 1 m de comprimento. A) qual é a distância da lâmpada ao chão?
B) se a distância do homem ao poste se tornar duas vezes maior, o que ocorrerá com o comprimento da sua sombra?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um homem de 1,60 m de altura que está a 2,5 m de distância de um poste com uma lâmpada acesa no alto. A sombra do homem no chão tem 1 m de comprimento. Precisamos resolver duas coisas:
A) Descobrir a altura da lâmpada até o chão.
B) Verificar o que acontece com o comprimento da sombra se a distância do homem ao poste dobrar.
Para resolver isso, vamos usar triângulos semelhantes, um conceito de geometria que nos ajuda a comparar triângulos que têm os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a lâmpada no topo do poste ilumina o homem, projetando sua sombra no chão. Isso forma dois triângulos:
  1. Triângulo formado pela lâmpada, o topo da cabeça do homem e a ponta da sombra.
  2. Triângulo formado pelo topo da cabeça do homem, os pés do homem e a ponta da sombra.
Esses dois triângulos são semelhantes porque eles têm os mesmos ângulos (ângulos correspondentes iguais) e, portanto, seus lados são proporcionais.

Passo 3

Vamos identificar as medidas conhecidas:
  • Altura do homem (h₁) = 1,60 m
  • Distância do homem ao poste (d) = 2,5 m
  • Comprimento da sombra do homem (s) = 1 m
Queremos encontrar a altura da lâmpada (H).

Passo 4

Como os triângulos são semelhantes, as proporções dos lados correspondentes são iguais. Então, podemos escrever a seguinte proporção:
Hd + s = h₁s
Onde:
  • $ H $ é a altura da lâmpada.
  • $ d + s $ é a distância total do poste até a ponta da sombra.
  • $ h₁ $ é a altura do homem.
  • $ s $ é o comprimento da sombra.

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na equação:
H2,5,m + 1,m = 1,60,m1,m
H3,5,m = 1,60

Passo 6

Agora, resolvemos para $ H $:
H
H = 1,60 times 3,5,m

Passo 7

Resposta parte A: A distância da lâmpada ao chão é de 5,6 metros.

Passo 8

Agora, vamos para a parte B: O que acontece com o comprimento da sombra se a distância do homem ao poste dobrar?
Inicialmente, a distância do homem ao poste é de 2,5 m. Se dobrar, passa a ser:
dnovo = 2 times 2,5,m = 5,m

Passo 9

Mantendo a mesma altura da lâmpada (H = 5,6 m) e a altura do homem (h₁ = 1,60 m), usamos novamente a proporção dos triângulos semelhantes:
5,6,m5,m + snovo = 1,60,msnovo

Passo 10

Resolvendo a equação para $ s_{novo} $:
snovo
5,6 times snovo = 1,60 times (5 + snovo)
5,6,snovo = 8 + 1,60,snovo
5,6,snovo - 1,60,snovo = 8
4,snovo = 8

Passo 11

Resposta parte B: Se a distância do homem ao poste dobrar, o comprimento da sombra também dobra, passando de 1 metro para 2 metros.

Resposta

A) A distância da lâmpada ao chão é de 5,6 metros.
B) Se a distância do homem ao poste dobrar, o comprimento da sombra também dobra, passando de 1 metro para 2 metros.

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