Deseja-se usar um fio de aço de
de comprimento e
de diâmetro para sustentar uma força
de tração. Sabe-se que o fio se alonga 15 mm quando é aplicada essa força. Sabendo que
, determine (a) a intensidade da forçaP e (b) a tensão normal correspondente no fio.
Passo 1
Então, a gente tem um fio de aço que mede 8,5 metros de comprimento e 6,4 milímetros de diâmetro. Quando a gente aplica uma força de tração $ P $ nesse fio, ele se alonga 15 milímetros. Sabemos também que o módulo de Young $ E $ do aço é de 200 GPa. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas:
a) Qual é a intensidade da força $ P $ que está causando esse alongamento.
b) Qual é a tensão normal correspondente no fio.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre Módulo de Elasticidade (ou Módulo de Young) e tensão e deformação em materiais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Módulo de Young ($ E
\sigma
\varepsilon $) em um material dentro do limite elástico. A fórmula é:
Onde:
- $ \sigma $ é a tensão normal,
- $ \varepsilon $ é a deformação relativa.
Mas o que isso significa na prática? Basicamente, quanto mais força você aplica a um material, mais ele se deforma, e o módulo de Young nos diz quanta força é necessária para uma certa deformação.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a deformação ($ \varepsilon $). A deformação é a mudança no comprimento dividida pelo comprimento original. Temos:
Onde:
- $ \Delta L $ é o alongamento (15 mm = 0,015 m),
- $ L_0 $ é o comprimento original (8,5 m).
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora que temos a deformação, podemos usar a relação do Módulo de Young para encontrar a tensão ($ \sigma $):
Substituindo os valores:
Isso nos dá a tensão no fio.
Passo 5
Com a tensão conhecida, podemos encontrar a força $ P $. A tensão é definida como a força dividida pela área da seção transversal do fio:
Onde $ A $ é a área da seção transversal. Para um fio circular, a área é:
Dado que o diâmetro $ d $ é 6,4 mm = 0,0064 m, temos:
Passo 6
Agora, rearranjando a fórmula da tensão para encontrar $ P $:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
a) A intensidade da força $ P $ é aproximadamente $ 1,135 \times 10^4 , N $.
b) A tensão normal correspondente no fio é aproximadamente $ 3,53 \times 10^8 , Pa $.