Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com ângulo pequeno a cada 2,0 s. Qual deve ser o valor do raio do aro?
Dica: I=2 MR^2 ; R=0,496 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um aro fininho que queremos pendurar com um prego e fazer ele oscilar completinho, com um ângulo pequeno, a cada 2,0 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de pêndulos físicos e o momento de inércia. Precisaremos das fórmulas para o período de oscilação de um pêndulo físico e do momento de inércia do aro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período T = 2pi raizIMgh de um pêndulo físico é dado por:
Aqui:
  • é o momento de inércia do aro.
  • é a massa do aro.
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  • é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do aro.

Passo 3

Sabemos que o momento de inércia I = 2MR^2 para um aro fininho é:
E como estamos pendurando o aro pelo centro, a distância é igual ao raio do aro.

Passo 4

Substituindo T = 2pi raiz2MR^2MgR = 2pi raiz2Rg e na fórmula do período:

Passo 5

Queremos que o período 2 = 2pi raiz2R9,81 seja de 2,0 segundos. Então, igualamos e resolvemos para 22pi = raiz2R9,81 :
1pi = raiz2R9,81
Primeiro, dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(1pi)^2 = 2R9,81
1pi^2 = 2R9,81

Passo 7

Agora, isolamos R = 9,812pi^2 :

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
R = 9,812 times (3,1416)^2 approx 9,8119,739 approx 0,497 , m

Resposta

O raio do aro deve ser aproximadamente .

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