Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com ângulo pequeno a cada
. Qual deve ser o valor do raio do aro?
Dica:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um aro fininho que queremos pendurar com um prego e fazer ele oscilar completinho, com um ângulo pequeno, a cada 2,0 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física de pêndulos físicos e o momento de inércia. Precisaremos das fórmulas para o período de oscilação de um pêndulo físico e do momento de inércia do aro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período
de um pêndulo físico é dado por:
Aqui:
-
é o momento de inércia do aro. -
é a massa do aro. -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ). -
é a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do aro.
Passo 3
Sabemos que o momento de inércia
para um aro fininho é:
E como estamos pendurando o aro pelo centro, a distância
é igual ao raio
do aro.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do período:
Passo 5
Queremos que o período
seja de 2,0 segundos. Então, igualamos e resolvemos para
:
Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Resposta
O raio do aro deve ser aproximadamente
.
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