Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico:
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico dessa função. Isso está dentro do assunto de curvas de nível em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como as curvas de nível funcionam e como representar graficamente essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
que resultam no mesmo valor de
. Ou seja, para cada valor constante de
, a equação
define uma curva no plano
.
Passo 3
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar as curvas de nível. Como
,
sempre será negativo ou zero. Vamos escolher, por exemplo,
,
e
.
Passo 4
Para cada valor de
, resolvemos a equação
para encontrar a curva correspondente:
-
Para
: Essa é a equação de um círculo com raio 1. -
Para
: Essa é a equação de um círculo com raio 2. -
Para
: Essa é a equação de um círculo com raio 3.
Passo 5
Agora que temos as equações das curvas de nível, vamos desenhá-las no plano
. Serão três círculos concêntricos com raios 1, 2 e 3, todos centrados na origem.
Passo 6
Para esboçar o gráfico de
, percebemos que para cada ponto no plano
,
é a distância desse ponto à origem, mas com sinal negativo. Isso cria uma superfície cônica voltada para baixo, onde o vértice está na origem.
Resposta
As curvas de nível de
são círculos concêntricos no plano
com raios crescentes conforme
se torna mais negativo. O gráfico dessa função é um cone invertido centrado na origem.