Determine as raízes indicadas e as esboce no plano complexo de Argand-Gauss.
(f) As raízes sextas de 64
(f) As raízes sextas de 64
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre encontrar as raízes sextas de 64 no plano complexo de Argand-Gauss. Basicamente, queremos descobrir quais são os números complexos que, quando elevados à sexta potência, resultam em 64. Para fazer isso, vamos usar conceitos de números complexos e raízes de números complexos, além de um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma polar:
, onde
é o módulo (a distância do número até a origem) e
é o argumento (o ângulo que o número forma com o eixo real positivo).
Passo 3
Agora, vamos expressar o número 64 nessa forma polar. Como 64 é um número real positivo, seu módulo
é 64 e o argumento
é 0, porque ele está todo alinhado com o eixo real positivo. Então:
Passo 4
Para encontrar as raízes sextas de 64, ou seja, os números
que satisfazem
, vamos aplicar a fórmula das raízes
-ésimas de um número complexo. A fórmula geral para as raízes
-ésimas é:
onde
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula para nosso caso, onde
,
e
:
Sabemos que
, porque
.
Passo 6
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular cada uma das raízes para os valores de
de 0 a 5:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Agora que temos todas as seis raízes, podemos esboçá-las no plano complexo de Argand-Gauss. Cada raiz corresponde a um ponto no plano com coordenadas
, onde
é a parte real e
a parte imaginária.
-
está em -
está em -
está em -
está em -
está em -
está em
Ao plotar esses pontos, você vai ver que eles estão igualmente espaçados ao redor de um círculo de raio 2, formando um hexágono regular no plano complexo.
Resposta
As raízes sextas de 64 são:
E elas estão distribuídas uniformemente em um círculo de raio 2 no plano complexo de Argand-Gauss.