Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenhar algumas curvas de nível para a função
. Isso está ligado ao estudo de funções de duas variáveis na matemática, mais especificamente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é um conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, chamado de “nível”. Ou seja, para um valor fixo
, temos:
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
, queremos encontrar todas as combinações de
e
que satisfazem:
Passo 4
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:
Passo 5
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
. Isso significa que para cada valor de
, a curva de nível será um círculo de raio
.
Passo 6
Então, para desenhar algumas curvas de nível, escolhemos diferentes valores de
e desenhamos os respectivos círculos:
-
Para
: Um círculo de raio 1. -
Para
: Um círculo de raio 2. -
Para
: Um círculo de raio 3.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos com centro na origem, onde cada círculo tem raio
. Por exemplo:
- Quando
, a curva é um círculo de raio 1. - Quando
, a curva é um círculo de raio 2. - Quando
, a curva é um círculo de raio 3.
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Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
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