Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para desenhar algumas curvas de nível para a função . Isso está ligado ao estudo de funções de duas variáveis na matemática, mais especificamente em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas representam a função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível é um conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, chamado de “nível”. Ou seja, para um valor fixo , temos:

Passo 3

Aplicando isso à nossa função , queremos encontrar todas as combinações de e que satisfazem:

Passo 4

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:

Passo 5

Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . Isso significa que para cada valor de , a curva de nível será um círculo de raio .

Passo 6

Então, para desenhar algumas curvas de nível, escolhemos diferentes valores de e desenhamos os respectivos círculos:
  • Para :
    Um círculo de raio 1.
  • Para :
    Um círculo de raio 2.
  • Para :
    Um círculo de raio 3.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos com centro na origem, onde cada círculo tem raio . Por exemplo:
  • Quando , a curva é um círculo de raio 1.
  • Quando , a curva é um círculo de raio 2.
  • Quando , a curva é um círculo de raio 3.

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Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
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