Determine o domínio da função f e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de f. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
f(x, y) = (x^4 - y^4) / (x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio da função e desenhar um esboço da região onde essa função está definida no plano . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções de duas variáveis e restrições que podem fazer a função não estar definida. Vamos usar um pouco de álgebra e pensar em gráficos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando a função está bem definida. A gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não tem sentido na matemática. Então, vamos ver quando .

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos que não estão no domínio:
Isso significa que a função não está definida nas linhas e , porque nessas linhas o denominador fica zero.

Passo 4

Agora, vamos descrever o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares que não fazem . Ou seja:
í
Isso quer dizer que a função está definida em todo o plano menos nas linhas e .

Passo 5

Vamos fazer um esboço para visualizar o domínio. Imagine um plano cartesiano:
  1. Desenhe duas linhas retas: uma passando pelo origem com inclinação 45° ( ) e outra com inclinação -45° ( ).
  2. Como essas linhas não fazem parte do domínio, a gente usa linhas pontilhadas para indicá-las.
  3. O resto do plano é o domínio da função, onde está definida. Podemos sombrear essa região ou simplesmente notar que tudo ao redor das linhas pontilhadas está no domínio.

Resposta

O domínio da função é todo o plano menos as linhas e . No esboço, essas linhas são representadas com curvas pontilhadas para mostrar que não estão incluídas no domínio, e todo o restante do plano pertence ao domínio da função.

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