Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o domínio da função
e desenhar um esboço da região onde essa função está definida no plano
. Para isso, vamos trabalhar com conceitos de domínio de funções de duas variáveis e restrições que podem fazer a função não estar definida. Vamos usar um pouco de álgebra e pensar em gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quando a função
está bem definida. A gente precisa garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não tem sentido na matemática. Então, vamos ver quando
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos que não estão no domínio:
Isso significa que a função não está definida nas linhas
e
, porque nessas linhas o denominador fica zero.
Passo 4
Agora, vamos descrever o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que não fazem
. Ou seja:
Isso quer dizer que a função está definida em todo o plano
menos nas linhas
e
.
Passo 5
Vamos fazer um esboço para visualizar o domínio. Imagine um plano cartesiano:
- Desenhe duas linhas retas: uma passando pelo origem com inclinação 45° (
) e outra com inclinação -45° ( ). - Como essas linhas não fazem parte do domínio, a gente usa linhas pontilhadas para indicá-las.
- O resto do plano é o domínio da função, onde
está definida. Podemos sombrear essa região ou simplesmente notar que tudo ao redor das linhas pontilhadas está no domínio.
Resposta
O domínio da função
é todo o plano
menos as linhas
e
. No esboço, essas linhas são representadas com curvas pontilhadas para mostrar que não estão incluídas no domínio, e todo o restante do plano pertence ao domínio da função.