Determine o domínio da função e faça um esboço mostrando como uma região em (para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de . Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio da função e esboçar a região que representa esse domínio no plano . O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada aqui, precisamos lembrar que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos precisar usar conhecimentos sobre desigualdades e gráficos de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar sobre o que significa ter a função definida. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Portanto, precisamos que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o conjunto de todos os pares que satisfazem:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Essa desigualdade representa uma região no plano que é definida pelos pontos onde é maior ou igual a 1. Essa é a equação de uma hipérbole. Para visualizar isso, vamos considerar a igualdade:

Passo 5

A equação representa uma hipérbole com duas ramos, um à direita do eixo y e outro à esquerda. A região onde inclui todos os pontos fora desses ramos, ou seja, as áreas onde é suficientemente grande em relação a .

Passo 6

Para esboçar o domínio, vamos desenhar a hipérbole . Como estamos interessados em , a região do domínio estará fora dos ramos da hipérbole. Usaremos linhas contínuas para os limites onde a desigualdade é igual a 1 e linhas pontilhadas para indicar quaisquer partes do limite que não estejam no domínio (neste caso, todos os limites estão incluídos, então nenhuma linha pontilhada será necessária).

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem . Graficamente, isso corresponde às regi��es externas aos ramos da hipérbole , incluindo os próprios ramos.

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Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.