Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o domínio da função
e esboçar a região que representa esse domínio no plano
. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada aqui, precisamos lembrar que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos precisar usar conhecimentos sobre desigualdades e gráficos de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar sobre o que significa ter a função
definida. A raiz quadrada só está definida para números não negativos. Portanto, precisamos que a expressão dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar o conjunto de todos os pares
que satisfazem:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Essa desigualdade representa uma região no plano
que é definida pelos pontos onde
é maior ou igual a 1. Essa é a equação de uma hipérbole. Para visualizar isso, vamos considerar a igualdade:
Passo 5
A equação
representa uma hipérbole com duas ramos, um à direita do eixo y e outro à esquerda. A região onde
inclui todos os pontos fora desses ramos, ou seja, as áreas onde
é suficientemente grande em relação a
.
Passo 6
Para esboçar o domínio, vamos desenhar a hipérbole
. Como estamos interessados em
, a região do domínio estará fora dos ramos da hipérbole. Usaremos linhas contínuas para os limites onde a desigualdade é igual a 1 e linhas pontilhadas para indicar quaisquer partes do limite que não estejam no domínio (neste caso, todos os limites estão incluídos, então nenhuma linha pontilhada será necessária).
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
no plano
que satisfazem
. Graficamente, isso corresponde às regi��es externas aos ramos da hipérbole
, incluindo os próprios ramos.
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Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Desenhar algumas curvas de nível para as seguintes funções.