Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dado: f(x, y) = 2^(x+y) ; k = 1, 2, 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para desenhar as curvas de nível para a função com os valores de . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função é o conjunto de todos os pontos onde a função assume um valor constante . Matemáticamente, isso é representado por:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre e que satisfaz essa equação para cada valor de dado ( ). Vamos resolver a equação para cada .

Passo 4

Para facilitar, podemos aplicar o logaritmo na base 2 em ambos os lados da equação. Lembrando que o logaritmo na base 2 de é simplesmente . Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos expressar em função de :
Essa é a equação da reta que representa a curva de nível para cada valor de .

Passo 6

Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
Então, a equação da curva de nível é:
  • Para :
Então:
  • Para :
Assim:

Resposta

As curvas de nível para são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados

Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: w = ln(x^2 + y^2)
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: w = raiz(16 - x^2 - y^2 - z^2)
Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dado: z = x * y ; k = 2, 4, 8
Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dado: z = 1/(x^2 + y^2) ; k = 1/4, 4, 9