Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenhar as curvas de nível
para a função
com os valores de
sendo 2, 4 e 8. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, mais especificamente no estudo de superfícies e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são formadas a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano
onde a função
assume um valor constante
. Em outras palavras, para cada valor de
, a curva de nível
é definida por
.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Então, para cada valor de
, vamos ter:
Essa equação representa a curva de nível
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
em termos de
:
Essa é a equação de uma hipérbole, já que envolve a divisão de duas variáveis. As hipérboles têm duas “ramas” que ficam em lados opostos do plano, dependendo do sinal de
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso para cada valor de
dado:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Cada uma dessas equações representa uma hipérbole diferente:
- A hipérbole
será menos “esticada” comparada às outras, pois o valor de é menor. - A hipérbole
será mais “esticada” que a anterior. - E a hipérbole
será ainda mais “esticada”, já que é maior.
Isso significa que, à medida que
aumenta, as curvas de nível se afastam mais das coordenadas
e
.
Resposta
As curvas de nível
para a função
e para os valores de
são hipérboles definidas por:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Essas hipérboles representam as curvas de nível no plano
onde a função
assume os valores 2, 4 e 8, respectivamente.
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