Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dado: z = x * y ; k = 2, 4, 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para desenhar as curvas de nível para a função com os valores de sendo 2, 4 e 8. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, mais especificamente no estudo de superfícies e curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são formadas a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos no plano onde a função assume um valor constante . Em outras palavras, para cada valor de , a curva de nível é definida por .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Então, para cada valor de , vamos ter:
Essa equação representa a curva de nível .

Passo 4

Vamos resolver essa equação para em termos de :
Essa é a equação de uma hipérbole, já que envolve a divisão de duas variáveis. As hipérboles têm duas “ramas” que ficam em lados opostos do plano, dependendo do sinal de .

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso para cada valor de dado:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Cada uma dessas equações representa uma hipérbole diferente:
  • A hipérbole será menos “esticada” comparada às outras, pois o valor de é menor.
  • A hipérbole será mais “esticada” que a anterior.
  • E a hipérbole será ainda mais “esticada”, já que é maior.
Isso significa que, à medida que aumenta, as curvas de nível se afastam mais das coordenadas e .

Resposta

As curvas de nível para a função e para os valores de são hipérboles definidas por:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas hipérboles representam as curvas de nível no plano onde a função assume os valores 2, 4 e 8, respectivamente.

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