Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: w = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função . Isso tá dentro da matéria de funções e seus gráficos. Para isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares que fazem a função existir. Como temos um logaritmo natural na função, a expressão dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Ou seja:
Isso significa que qualquer par que não seja o ponto está no domínio, já que sempre será positivo, exceto quando e .

Passo 3

Agora, vamos pensar na imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural está definido para todo e pode resultar em qualquer número real, desde valores negativos quando está entre 0 e 1, até valores positivos quando . Como é sempre positivo (exceto em ), pode ser qualquer número real.

Passo 4

Para representar graficamente o domínio, imagine o plano cartesiano. O domínio inclui todos os pontos desse plano, menos o ponto . Então, é todo o plano menos a origem.

Passo 5

Já a imagem é mais simples de visualizar. Como pode ser qualquer número real, representamos a imagem como toda a linha reta que vai de a .

Resposta

  • Domínio: Todos os pares no plano real, exceto o ponto . Ou seja, .
  • Imagem: Todos os números reais, .

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