Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio e a imagem da função
. Isso tá dentro da matéria de funções e seus gráficos. Para isso, vamos precisar entender onde a função está bem definida (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que fazem a função existir. Como temos um logaritmo natural na função, a expressão dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Ou seja:
Isso significa que qualquer par
que não seja o ponto
está no domínio, já que
sempre será positivo, exceto quando
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural
está definido para todo
e pode resultar em qualquer número real, desde valores negativos quando
está entre 0 e 1, até valores positivos quando
. Como
é sempre positivo (exceto em
),
pode ser qualquer número real.
Passo 4
Para representar graficamente o domínio, imagine o plano cartesiano. O domínio inclui todos os pontos desse plano, menos o ponto
. Então, é todo o plano menos a origem.
Passo 5
Já a imagem é mais simples de visualizar. Como
pode ser qualquer número real, representamos a imagem como toda a linha reta que vai de
a
.
Resposta
- Domínio: Todos os pares
no plano real, exceto o ponto . Ou seja, . - Imagem: Todos os números reais,
.
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para os valores de
dado:
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