Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: w = raiz(16 - x^2 - y^2 - z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função . Aqui, vamos usar conceitos de funções multivariáveis e geometria analítica. Precisaremos entender o que significa domínio e imagem para essa função e como representá-los no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função são todos os valores de entrada possíveis (neste caso, ) para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa desigualdade para entender melhor:
Isso representa a interior de uma esfera com raio 4 (já que ) e centro na origem (0,0,0) no espaço tridimensional. Então, o domínio da função são todos os pontos que estão dentro ou na superfície dessa esfera.

Passo 4

Para representar graficamente o domínio, imaginamos uma esfera sólida de raio 4 no espaço 3D. Todos os pontos dentro dessa esfera são válidos para a função .

Passo 5

Agora, vamos pensar na imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores de saída possíveis para . Como temos a raiz quadrada, sempre será um número não negativo. Além disso, o maior valor de ocorre quando :
E o menor valor é 0, quando .

Passo 6

Portanto, a imagem da função é o intervalo de 0 a 4, ou seja:
Graficamente, podemos representar a imagem como um intervalo na reta dos números reais de 0 a 4.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem , ou seja, o interior e a superfície de uma esfera de raio 4 no espaço tridimensional.
A imagem da função é o intervalo .

Exercícios relacionados

Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: f(x, y) = raiz(y - x) * ln(x + y)
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: f(x, y) = arcsin(y - x)
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: w = ln(x^2 + y^2)
Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dado: f(x, y) = 2^(x+y) ; k = 1, 2, 4