Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função
. Aqui, vamos usar conceitos de funções multivariáveis e geometria analítica. Precisaremos entender o que significa domínio e imagem para essa função e como representá-los no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função são todos os valores de entrada possíveis (neste caso,
) para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa desigualdade para entender melhor:
Isso representa a interior de uma esfera com raio 4 (já que
) e centro na origem (0,0,0) no espaço tridimensional. Então, o domínio da função
são todos os pontos
que estão dentro ou na superfície dessa esfera.
Passo 4
Para representar graficamente o domínio, imaginamos uma esfera sólida de raio 4 no espaço 3D. Todos os pontos dentro dessa esfera são válidos para a função
.
Passo 5
Agora, vamos pensar na imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores de saída possíveis para
. Como temos a raiz quadrada,
sempre será um número não negativo. Além disso, o maior valor de
ocorre quando
:
E o menor valor é 0, quando
.
Passo 6
Portanto, a imagem da função
é o intervalo de 0 a 4, ou seja:
Graficamente, podemos representar a imagem como um intervalo na reta dos números reais de 0 a 4.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
, ou seja, o interior e a superfície de uma esfera de raio 4 no espaço tridimensional.
A imagem da função é o intervalo
.
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para os valores de
dado: