Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dados (caso tenha dificuladades, pode utilizar o software Geogebra).
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as curvas de nível
para a função
nos valores de
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis como
é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Matemáticamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para cada valor de
dado e então desenhar as curvas resultantes.
Passo 3
Vamos começar isolando os termos para identificar o tipo de curva que teremos. Dividindo a equação por
:
Podemos simplificar ainda mais:
Isso está na forma padrão de uma elipse, que é:
onde
e
são os semi-eixos da elipse.
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores de
e
para cada valor de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com os valores de
e
identificados para cada
, podemos desenhar as elipses correspondentes.
- Para
: Elipse com semi-eixos e . - Para
: Elipse com semi-eixos e . - Para
: Elipse com semi-eixos e .
Cada elipse será centrada na origem
e alargará conforme aumentamos
.
Resposta
As curvas de nível para
são elipses centradas na origem com as seguintes equações:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas elipses aumentam de tamanho conforme
aumenta, todas centradas na origem.