Desenhar as curvas de nível C_k para os valores de k dados (caso tenha dificuladades, pode utilizar o software Geogebra).
(e) f(x, y) = 2*x^2 + 4*y^2 ; k = 2, 3, 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as curvas de nível para a função nos valores de . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta no plano.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis como f(x, y) é o conjunto de pontos (x, y) onde a função assume um valor constante k. Matemáticamente, isso é representado por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para cada valor de k dado e então desenhar as curvas resultantes.

Passo 3

Vamos começar isolando os termos para identificar o tipo de curva que teremos. Dividindo a equação por k:
Podemos simplificar ainda mais:
Isso está na forma padrão de uma elipse, que é:
onde a e b são os semi-eixos da elipse.

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores de a e b para cada valor de k.
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Com os valores de a e b identificados para cada k, podemos desenhar as elipses correspondentes.
  • Para : Elipse com semi-eixos e .
  • Para : Elipse com semi-eixos e .
  • Para : Elipse com semi-eixos e .
Cada elipse será centrada na origem (0,0) e alargará conforme aumentamos k.

Resposta

As curvas de nível para são elipses centradas na origem com as seguintes equações:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas elipses aumentam de tamanho conforme k aumenta, todas centradas na origem.

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